【分析】由“SAS”可证△AFB≌△CED，可得∠A＝∠C，可证AB∥CD． 【解答】证明：∵DE∥BF ∴∠DEF＝∠BFE ∵AE＝CF
∴AF＝CE，且DE＝BF，∠DEF＝∠BFE ∴△AFB≌△CED（SAS） ∴∠A＝∠C ∴AB∥CD
22．在一个不透明的盒中有m个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.75左右，则m的值应是 3 ；
（2）在（1）的条件下，用m个黑球和1个白球进行摸球游戏．先从盒中随机摸取一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球，求事件“先摸到黑球，再摸到白球”的概率． 【分析】（1）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在0.75左右得到比例关系，列出方程求解即可． （2）列出树状图，利用概率公式求解即可． 解：（1）解：根据题意得解得：m＝3，
经检验：m＝3是分式方程的解， 故答案为：3；
（2）画树状图如下：
＝0.75，
从树状图可知，“先从盒子中随机取出一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球”共
12种等可能的结果，其中“先摸到黑球，再摸到白球”的结果有3种， ∴P（先摸到黑球，再摸到白球）＝
＝．
23．某校“心灵信箱”的设立，为师、生之间的沟通开设了一个书面交流的渠道．为了解九年级学生对“心灵信箱”开通两年来的使用情况，某课题组对该校九年级全体学生进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
根据图表，解答以下问题：
（1）该校九年级学生共有 500 人；
（2）学生调查结果扇形统计图中，扇形D的圆心角度数是 18° ； （3）请你补充条形统计图；
（4）根据调查结果可以推断：两年来，该校九年级学生通过“心灵信箱”投递出的信件总数至少有 365 封．
【分析】（1）根据A所占的百分比和人数，可以求得该校九年级的人数； （2）根据统计图中的数据可以求得扇形D的圆心角度数；
（3）根据统计图中的数据可以求得C的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （4）根据统计图中的数据可以求得投递出的信件总数至少有多少封． 解：（1）225÷45%＝500， 故答案为：500；
（2）学生调查结果扇形统计图中，扇形D的圆心角度数是：360°×（1﹣45%﹣30%﹣20%）＝18°， 故答案为：18°；
（3）C中的人数为：500×20%＝100，
补充完整的条形统计图如右图所示；
（4）500×30%×1+500×20%×2+500×（1﹣45%﹣30%﹣20%）×3＝425（封）， 故答案为：425．
24．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinB＝，BD＝5，求BF的长．
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1＝∠2．证出∠C＝∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD＝90°，得出∠BAC＝90°，即可得出结论． （2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出＝3m，由勾股定理求出BD＝
m．求出m＝
．得出AD＝
，设AD＝2m，则AB，AB＝
．证出
FG＝FD．设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．由三角函数得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示． ∵E是弧BD的中点， ∴
，
∴∠1＝∠2． ∴∠BAD＝2∠1． ∵∠ACB＝2∠1，
∴∠C＝∠BAD． ∵AB为⊙O直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∴∠DAC+∠C＝90°． ∵∠C＝∠BAD， ∴∠DAC+∠BAD＝90°． ∴∠BAC＝90°． 即AB⊥AC． 又∵AC过半径外端， ∴AC是⊙O的切线．
（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示： 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，设AD＝2m，则AB＝3m， 由勾股定理得：BD＝∵BD＝5， ∴m＝∴AD＝
． ，AB＝
．
＝
m．
，
∵∠1＝∠2，∠ADB＝90°， ∴FG＝FD．
设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x． 在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，∴
．
，
解得：＝3． ∴BF＝3．
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