.. ..
第一部分一13(文)
一、选择题
1．(2015·东北三校二模是(
)
A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案] [解析]
B
当l、m是平面α的两条互相垂直的直线时，满足
A的条件，故A错误；对于
)设l，m是两条不同的直线，
α是一个平面，则下列说确的
C，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α作直线m与l1相交，满足C的条
l、m，
件，但l与m不平行，故C错误；对于D，设平面α∥β，在β取两条相交的直线满足D的条件，故D错误；对于B，由线面垂直的性质定理知
2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“
B正确．
α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命
题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有(
A．0个C．2个[答案] [解析]
C
若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命题为)
B．1个D．3个
真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命题为真命题，故选C.
3．(2015·文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(
)
.. .. ..
.. ..
1
A.＋2π 37πC.
3[答案] [解析]
B
13πB.
65πD.
2
由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为
113π2
1，高也为1，故其体积为π×１×2＋×π×１×1＝；
66
2
1，高为2；半圆锥的底面半径为故选B.
4.如图，在正四面体成立的是(
)
P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不
A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC[答案] [解析]
D
∵D、F分别为AB、AC的中点，∴BC∥DF，
∵BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；在正四面体中，∵E为BC中点，易知BC
⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；∵DF⊥平面PAE，
DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，∴C正确，故选D.
5．若某棱锥的三视图
(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于
(
)
.. .. ..
.. ..
A．10 cmC．30 cm[答案] [解析]
3
B．20 cmD．40 cm
3
33
B
由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱
ABC1C1截去－A1B1C1沿平面AB
1余下的部分．一个三棱锥A－A1B1C
1113
1B1＝VABC∴VA－BCC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝×4×3×5－×（×4×3)×5＝20cm.
2326．如图，在棱长为
5的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条
线段，且EF＝2，Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体P－
QEF的体积( )
A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量且有最大值和最小值D．是常量[答案] [解析]
D
因为EF＝2，点Q到AB的距离为定值，所以△
QEF的面积为定值，设为S，又
1C1∥AB1C1∥平面QEF因为D，所以D；点P到平面QEF的距离也为定值，设为d，从而四面体
P－QEF的体积为定值
13
Sd.
p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2
7．(2015·文，5)l1，l2表示空间中的两条直线，若不相交，则(
)
A．p是q的充分条件，但不是B．p是q的必要条件，但不是C．p是q的充分必要条件
..
..
q的必要条件q的充分条件
..
.. ..
D．p既不是q的充分条件，也不是[答案] [解析]
A
q的必要条件
若p：l1，l2是异面直线，由异面直线的定义知，l1，l2不相交，所以命题q：
l1，l2不相交成立，即p是q的充分条件；反过来，若q：l1，l2不相交，则l1，l2可能平行，
也可能异面，所以不能推出
l1，l2是异面直线，即p不是q的必要条件，故应选
A.
8．已知正方形ABCD的边长为22，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如右图所示的三棱锥
.若O为AC边的中点，M、、B－ACDN分别为线段DCBO上的动点(不
包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是
(
[答案] B
[解析] 由条件知，AC＝4，BO＝2，S1
1
△AMC＝2
CM·AD＝
2x，NO＝2－x，∴VN－AMC＝3
S△AMC·＝23
x(2－x)，即f(x)＝
23
x(2－x)，故选B.
..
..
..
)
NO
.. ..
二、填空题
9．(2015·文，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为
________m3
.
[答案] 8π3
[解析]
考查1.三视图；2.几何体的体积．
该几何体是由两个高为
1的圆锥与一个高为
2的圆柱组合而成，都是1，所以该几何体的体积为
2×18π3
3×π×1＋π×2＝3
(m)．
三、解答题10．如图，已知
AD
⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若(1)求证：AF∥平面BDE；
.. .. ..
圆柱与圆锥的底面半径
AB＝AC＝AD＝1
2
CE. .. ..
(2)求证：平面BDE⊥平面BCE. [证明]
(1)取BE的中点G，连接GF、GD.
因为F是BC的中点，则GF为△BCE的中位线．所以GF∥EC，GF＝12
CE.
因为AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，所以GF∥EC∥AD.
又因为AD＝12CE，所以GF＝AD.
所以四边形GFAD为平行四边形．所以AF∥DG.
因为DG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)因为AB＝AC，F为BC的中点，所以AF⊥BC
. 因为EC∥GF，EC⊥平面ABC，所以GF⊥平面ABC.
又AF?平面ABC，所以GF⊥AF. 因为GF∩BC＝F，所以AF⊥平面BCE. 因为AF∥DG，所以DG⊥平面BCE.
又DG?平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCE.
11.底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱．如图，在正三棱柱－A1B1C1中，AA1＝AB＝a，F、F1分别是AC、A1C1的中点．
(1)求证：平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)求证：平面AB
1F1⊥平面ACC1A1. .. .. ..
ABC
.. ..
[分析] (1)在正三棱柱中，由
F、F1分别为AC、A1C1的中点，不难想到四边形AFC1F1
与四边形BFF1B1都为平行四边形，于是要证平面
1BF中有两条相交直线分别平行，即C
1F1∥平面C1BF，可证明平面AB1F1与平面AB
1∥AF1. BF∥B1F1，FC
(2)要证两平面垂直，只要在一个平面能够找到一条直线与另一个平面垂直，考虑到侧
面ACC而平面AB1A1与底面垂直，F1为A1C1的中点，则不难想到B1F1⊥平面ACC1A1，1F1经过B1F1，因此可知结论成立．
[解析]
1中，连FF1，(1)在正三棱柱ABC－A1B1C
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，∴B1B綊A1A綊FF1，
1为平行四边形．∴∴B1BFF
B1F1∥BF，
1F1，∴AF1C1F为平行四边形，又AF綊C
∴AF1∥C1F，
又∵B1F1与AF1是两相交直线，∴平面AB1F1∥平面C1BF.
1⊥平面A1B1C1，(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA
∴B1F1⊥AA1，又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而平面AB1F1经过B1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F、H分别为A1D、A1C的中点．(1)证明：A1B∥平面AFC；(2)证明：B1H⊥平面AFC. [分析] 明．
[解析] ∥A1B.
又EF?平面AFC，A1B?平面AFC，∴A1B∥平面AFC.
(2)连接B1C，在正方体中四边形∵H为A1C的中点，∴H也是B1D的中点，
(1)连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，又F为A1D的中点，所以分别利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理证
EF
A1B1CD为长方形，
.. .. ..
.. ..
∴只要证B1D⊥平面ACF即可．由正方体性质得
AC⊥BD，AC⊥B1B，
∴AC⊥平面B1BD，∴AC⊥B1D. 又F为A1D的中点，∴AF⊥A1D，又AF⊥A1B1，∴AF⊥平面A1B1D.
∴AF⊥B1D，又AF、AC为平面ACF的相交直线．∴B1D⊥平面ACF.即B1H⊥平面ACF. 13.如图，在四棱锥
中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且P－ABCD
边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面
(1)若G为AD边的中点，求证：(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱你的结论．
[解析]
(1)证明：∵在菱形
ABCD.
BG⊥平面PAD；
PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明
中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，得BG⊥AD.又平ABCD
面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD，∵PG∩BG＝G，
PG?平面PGB，BG?平面PGB，
∴AD⊥平面PGB.
∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.
.. .. ..
.. ..
(3)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，则在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，
GB∥DE，
∴AD⊥EF，AD⊥DE.∴AD⊥平面DEF，又AD?平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD. 14．(2014·名校名师俱乐部模拟
)如图，在三棱柱
1中，AA1⊥平面ABCABC－A1B1C，AC
1E1，AC1＝4. ⊥BC，E在线段B1C1上，B＝3EC＝BC＝CC
(1)求证：BC⊥AC1；
(2)试探究：在AC上是否存在点
F，满足EF∥平面A1ABB1，若存在，
请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．
[分析]
(1)执果索因：要证
1，已知BCBC⊥AC⊥AC，故只需证BC
⊥平面ACC1A1，从而BC⊥AA1，这由已知三棱柱中
(2)假定存在，执果索因找思路：
AA1⊥平面ABC可证．
假定AC上存在点F，使EF∥平面A1ABB1，考虑矩形C1CBB1中，E在B1C1上，且B1E＝3EC1，
1B1，1，因此取BC上点G，使BG＝3GC，则EG＝B，从而EG∥平面A1ABB因此平面EFG∥平面A1ABB
由面面平行的性质定理知即所探求的点．
[解析]
AFBG
FG∥AB，从而＝＝3，则只需过G作AB的平行线交AC于F，F
FCGC
(1) ∵AA1⊥平面ABC, BC?平面ABC，
∴BC⊥AA1.
又∵BC⊥AC，AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，
1C1C∴BC⊥平面AA，
1?平面AA1C1C1. 又AC，∴BC⊥AC
(2)解法一：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1. 理由如下：在平面
∥A1C，连接AG. A1B1C1过E作EG1交A1B1于G
.. .. ..
.. ..
∵B＝3ECEG＝3
1E1，∴4
A1C1，
又AF∥A3
1C1且AF＝4A1C1，∴AF∥EG且AF＝EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴
EF∥AG，
又EF?平面A1ABB1，AG?平面A1ABB
1，∴EF∥平面A1ABB1.
解法二：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1. 理由如下：
在平面BCC1B1过E作EG∥BB1交BC于G，连接∵EG∥BB1，EG?平面A1ABB1，BB1?平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1. ∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，
∴FG∥AB，又AB?平面A1ABB1，FG?平面A1ABB1，
..
..
..
.
FG.. ..
1. ∴FG∥平面A1ABB
又EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
1. ∴平面EFG∥平面A1ABB
∵EF?平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1. 15．已知四棱锥
的直观图和三视图如图所示，P－ABCD
E是PB的中点．
(1)求三棱锥C－PBD的体积；(2)若F是BC上任一点，求证：
AE⊥PF；
(3)边PC上是否存在一点M
，使DM∥平面EAC，并说明理由．[解析]
(1)由该四棱锥的三视图可知，
四棱锥P－ABCD的底面是边长为
侧棱PA⊥平面ABCD，且PA＝2，
∴V112
C－PBD＝VP－BCD＝3×2×1×2×2＝3.
(2)证明：∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A.
.. .. ..
2和1的矩形，
.. ..
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，
又在△PAB中，∵PA＝AB，E是PB的中点，∴AE⊥PB.又∵BC∩PB＝B，
∴AE⊥平面PBC，且PF?平面PBC，∴AE⊥PF. (3)存在点M，可以使DM∥平面EAC. 连接BD，设AC∩BD＝O，连接EO. 在△PBD中，EO是中位线．∴PD∥EO，
又∵EO?平面EAC，PD?平面EAC，∴PD∥平面EAC，
∴当点M与点P重合时，可以使
DM
∥平面EAC. .. .. ..
相关推荐：
loading