武汉市2019届高中毕业生二月调研考试
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1?2ai?a?R?的实部和虚部相等，则实数a的值为 2?i11 A. 1 B. -1 C. D. ?
331.若复数
2.已知集合A??x|?1?x?3?,B??x|x?a?，若A A. B. C. D. 3.已知函数f?x??sin??x?B?A，则实数a的取值范围是
????17??????2?的最小正周期为，则?cos?x???0f?????????
3?26???6? A.
333333 B. C. D. 42424.下列函数既是奇函数，又在??1,1?上单调递增是是 A. f?x??sinx B.f?x??ln2?x C. 2?xf?x??1x?xe?e? D.f?x??ln?2?x2?1?x
?5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为80，则判断框内应填
入
A. n?8? B. n?8? C. n?7? D. n?7? 6.若函数f?x??sinx?a???在区间?0,?上单调递增，则实数a的
cosx?2?取值范围是
A. a??1 B. a?2 C. a??1 D.a?1
7.5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是 A. 40 B. 36 C. 32 D. 24
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O为坐8.已知直线y?2x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，
标原点，OA,OB的斜率分别为k1,k2，则
11? k1k2 A.
111 B. 2 C. ? D. ? 2239.如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为 A. 2 B. 22 C. 3 D.23 ??y?2x?0?110.设实数x,y满足约束条件?2x?y?6，则2x?的最小值为
y?1?y??2 A. 2 B.
5103 C. D. 23211.已知m,n为两个非零向量，且m?2,m?2n?2，则n?2m?n的最大值为
A. 42 B. 33 C. 337383 D. 232212.已知x,y满足x?2y?x?y,x?0,y?0，则x,y使得x?ky?1恒成立的k的最大值为 A. 23 B. 2?5 C. 2?23 D.7?1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
813.x?1?x?a?的展开式中，x的系数为113，则实数a的值为 . 2??8ABAB?tan?1，则sin?sin? . 2222115.在平面直角坐标系中，设A,B,C是曲线y?上两个不同的点，且D,E,F分别为
x?114.在?ABC中，角C?60，且tanBC,CA,AB的中点，则过D,E,F三点的圆一定经过定点 . 16.已知函数f?x??xe?axx2x?a?R?恰有两个极值点x1,x2?x1?x2?，则实数a的取值范围
·2·
为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）
1,n?N.? 已知数列?an?的前n项和为Sn，an?0，且满足?an?2??4Sn?4n? （1）求a1及通项公式an；
（2）若bn???1?an，求数列?bn?的前n项和Tn.
18.（本题满分12分）
n2AB?平面BCC1B1， 如图，在三棱柱ABC?ABC111中，
?BCC1??3,AB?BB1?2,BC?1,D为CC1的中点.
（1）求证：DB1?平面ABD； （2）求二面角A?B1D?A1的余弦值.
19.（本题满12分）
某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为
33和，现安排甲组研发新产45品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利?万元的分布列和期望.
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x2y2220.（本题满分12分）已知椭圆?:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为，
ab2F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为2?1.
（1）求椭圆?的标准方程；
（2）已知?上存在一点P，使得直线PF1,PF2分别交椭圆?于A,B，若
PF1?2F1A,PF2??F2B???0?，求?的值.
21.（本题满分12分）
（1）求函数f?x??xlnx??1?x?ln?1?x?在?0,?上的最大值；
2??1?? （2）证明：不等式x
1?x??1?x??2在?0,1?上恒成立.
x请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为?sin?????2?3????3，?C的极坐标方程为??4cos??2sin?.
（1）求直线l和
C的普通方程；
（2）若直线l与圆C交于A,B两点，求弦AB的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）求函数y?2x?1?x?4的值域；
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