3. 如下图所示，这是由原子排列在正方格子上而构成的一假想的二维晶体，
（1）标出一个原胞；
（2）定义倒格子点阵解释它同布拉格反射的关系；
（3）画出倒格子点阵和第一布里渊区，该区与布拉格反射的关系如何；
（4）叙述并解释布洛赫定理，即在点阵的势场中运动的电子具有行波波函数，该定理必须采用什么边界条件？
解：
（1） 原胞如下图所示，四个角顶上都有原子占据，但属于原胞的仅有一个原子，
若设方格长度为a，则原胞基矢为：a1?a(i?j) a2?a(i?j)
a2 a1 a
?2?,i?j（2）设ai（i?1,2）为正格子的基矢，则由关系式ai?bj??
?0,i?j
所确定的bi（i?1,2）为基矢的点阵，称为正格子的倒格子，
在倒格子空间，布拉格反射的条件为：反射波矢k与入射波矢k0相差一个或者倒格
矢nGh，即k?k0?nG0
（3）i与j是相互垂直的单位矢量，取单位矢量k垂直于i和j，则a1，a2和k构成的体积：??a1?(a2?k)?(ai?aj)?(ai?aj)?2a2 根据倒格式基矢的定义
2?(a2?k)2?? b1??2?(ai?aj)?(i?j)
?a2a2?(k?a1)2??b2??2?(ai?aj)?(i?j)
?a2a虽然这将是构成二维正方倒格子点阵，下图示出倒格子点阵和第一布里渊区，在布里渊区边界上将发生布拉格反射。
b2 i b1
(4)在点阵周期势场中运动的电子波函数是布洛赫波即：
?k(r)?eik?ruk(r) 式中函数uk(r)具有晶格平移对称性
uk(r)?uk(r?R)
式中R是晶格格矢，这是受晶格周期势场调制的平面波，此即布洛赫定理，布洛赫波的指数部分是平面波，描述了晶体中电子的共有化运动，而周期函数则描述了晶体中电子围绕原子核的运动，因而布洛赫波正是反映晶体中电子运动的特点。
4. 一束动能为1keV的电子通过一多晶金属箔产生衍射，这种金属具有立方晶体结构，原子间距为1 ?，求
（1）计算电子的波长；
（2）计算第一级衍射极大的布拉格角
p2h解（1）因为电子的波长??及?eV（V为电子加速电压），所以
2mph(2meV)12???12.25V12?12.251000?0.39（?）
（2）由布拉格反射条件2dsin??n?，对第一级衍射极大，n?1, 又知d?1 ?，所以 sin??
5. 分别到处一维，二维和三维金属中自由电子的能态密度。
解：
金属自由电子E?k关系为
?2k2 E(k)?
2m?2d?0.39?0.195，得 ??11.18? 2?1一维E?k是抛物线，二维等能线是圆，而三维等能面则是球。 （1） 一维情况。
E?E?dE电子数目相应于一维k轴在?k方向(2dk)范围内的状态如下图，计
入电子自旋，一维金属长度为L，
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