2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质(含答案)

∴∠OAB=∠OBA=50°， -50°-50°=80°∴∠AOB=180°， ∴∠C=

∠AOB=40°．

故答案为40°．

3. （2019年黑龙江省伊春市）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为 ．

【考点】圆周角定理 【解答】解：∵OA⊥BC， ∴

＝

，

∴∠AOB＝2∠ADC， ∵∠ADC＝30°， ∴∠AOB＝60°， 故答案为60°．

4. （2019年江苏省泰州市）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且APC.设PB=x,PC=y,则y与x的函数表达式为 ． ＝3,过点A作AP的垂线交于⊙O点B、【考点】圆周角定理、相似三角形的判定和性质 【解答】如图，连接PO并延长交⊙O于点N，连接BN， . ∵PN是直径，∴∠PBN=90°∵AP⊥BC, ∴∠PAC =90°， ∴∠PBN=∠PAC， 又∵∠PNB=∠PCA， ∴△PBN∽△PAC， ∴

PBPN=, PAPCx10∴= 3y∴y=

30. x30. x故答案为：y=三、解答题

1.（2019年上海市）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F． （1）求证：BD＝CD；

（2）如果AB＝AO?AD，求证：四边形ABDC是菱形．

2

【考点】圆内有关性质、相似三角形、菱形的判定 【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OD，

∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC， ∴A在BC的垂直平分线上， ∵OB＝OA＝OD，

∴O在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC， ∴BD＝CD；

（2）如图2，连接OB，

∵AB＝AO?AD， ∴

2

，

∵∠BAO＝∠DAB， ∴△ABO∽△ADB， ∴∠OBA＝∠ADB， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∴∠OAB＝∠BDA， ∴AB＝BD，

∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AB＝AC＝BD＝CD， ∴四边形ABDC是菱形．

2. （2019年江苏省苏州市）如图，AE为O的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.

（1）求证：DO∥AC；

（2）求证：DE?DA?DC2;

1（3）若tan?CAD?,求sin?CDA的值.

2CEFAOBD

【考点】圆内有关性质、相似三角形、锐角三角函数 【解答】（1）证明：∵D为弧BC的中点，OD为O的半径 ∴OD⊥BC

又∵AB为O的直径 ∴?ACB?90? ∴AC∥OD

（2）证明：∵D为弧BC的中点 ∴CD?BD ∴?DCB??DAC ∴?DCE∽?DAC ∴

DCDE ?DADC1 2 即DE?DA?DC2

（3）解：∵?DCE∽?DAC，tan?CAD?CDDECE1??? DADCAC2 设CD=2a，则DE=a，DA?4a 又∵AC∥OD ∴?AEC∽DEF

∴

∴

CEAE??3 EFDE8所以BC?CE

3又AC?2CE

∴AB?10CE 3CA3? AB5即sin?CDA?sin?CBA?3. （2019年河南省）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是长交AC于点G．

（1）求证：△ADF≌△BDG； （2）填空：

①若AB＝4，且点E是②取

的中点，则DF的长为 ；

上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延

的中点H，当∠EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形．

【考点】圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值 【解答】解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45° ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°，

∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90° ∴∠DAF＝∠DBG ∵∠ABD+∠BAC＝90° ∴∠ABD＝∠BAC＝45° ∴AD＝BD

∴△ADF≌△BDG（ASA）；

（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是∴∠BAE＝∠DAE ∵FD⊥AD，FH⊥AB ∴FH＝FD ∵∴∵AB＝4， ∴BD＝4cos45°＝2∴FD＝故答案为

＝4﹣2．

的中点，

，即BF+FD＝2

，（

+1）FD＝2

＝sin∠ABD＝sin45°＝

，即BF＝

FD

，

的中点，

②连接OE，EH，∵点H是∴OH⊥AE，