专题6 三角函数及解三角形
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=
sinx?x在[??,?]的图像大致为
cosx?x2B．
A．
C． D．
【答案】D 【解析】由f(?x)?sin(?x)?(?x)?sinx?x???f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，
cos(?x)?(?x)2cosx?x2ππ2?4?2π?1,f(π)?π?0，排除B，C，故选D． 排除A．又f()?22π22π?1?π()21?【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间（
?2，?）单调递增
③f(x)在[??,?]有4个零点 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ C．①④ 【答案】C 【解析】
④f(x)的最大值为2
B．②④ D．①③
f??x??sin?x?sin??x??sinx?sinx?f?x?,?f?x?为偶函数，故①正确．
当
π????x?π时，f?x??2sinx，它在区间?,??单调递减，故②错误． 2?2?当0?x?π时，f?x??2sinx，它有两个零点：0??；当?π?x?0时，f?x??sin??x??sinx
??2sinx，它有一个零点：?π，故f?x?在???,??有3个零点：???0??，故③错误．
当x??2k?,2k????k?N???时，f?x??2,2k??2sinx；当x??2k???时，???kN???fx?x??sin?si?nx，又0f?x?为偶函数，?f?x?的最大值为2，故④正确．
综上所述，①④正确，故选C．
【名师点睛】本题也可画出函数f?x??sinx?sinx的图象（如下图），由图象可得①④正确．
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以A．f(x)=|cos2x| C．f(x)=cos|x| 【答案】A
?2为周期且在区间(
?4，
?2)单调递增的是
B．f(x)=|sin2x| D．f(x)=sin|x|
【解析】作出因为y?sin|x|的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D； 因为y?cosx?cosx，周期为2π，排除C；
π??，在区间(，)单调递增，A正确； 242π??作出y?sin2x的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，
242作出y?cos2x图象如图2，由图象知，其周期为故选A．
图1
图2
图3
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数y?f(x)的周期是函数y?f(x)周期的一半；②y?sin?x不是周期函数.
4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，
?2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．
15 B．
55
C．
33 D．
255
【答案】B 【解析】
???2?4sinα?cosα?2cosα.α?2sin2α?cos2α?1，?0,?,?cosα?0，sinα?0,?2?15，故?2sinα?cosα，又sin2??cos2??1，?5sin2α?1,sin2α?，又sin??0，?sin??55选B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数f?x?=sin（?x?个零点，下述四个结论：
①f?x?在（0,2?）有且仅有3个极大值点 ②f?x?在（0,2?）有且仅有2个极小值点
?）(?＞0)，已知f?x?在?0,2??有且仅有55?）单调递增 101229④?的取值范围是[，)
510③f?x?在（0,其中所有正确结论的编号是 A．①④ C．①②③ 【答案】D
【解析】①若f(x)在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确； ②由图1、2可知，f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误； B．②③ D．①③④
π??kπ?④当f?x?=sin（?x?）=0时，?x?=kπ（k∈Z），所以5， x?55?因为f(x)在[0,2π]上有5个零点， 所以当k=5时，故④正确. 5π?x??ππ12296π??ω?k=6，当时，，解得， 5?2π5?2πx?510?③函数f?x?=sin（?x??πππ）的增区间为：??2kπ??x???2kπ，52527???3?2k?π????2k?π. 10?10???x????取k=0， 1271π?x?π， 时，单调递增区间为?52482973π?x?π， 当??时，单调递增区间为?102929当??综上可得，f?x?在?0,?π??单调递增.故③正确. ?10?所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D. 【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错． 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??)是奇函数，将y?f?x?的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g?x?．若g?x?的最小正周期为2π，且g?A．?2 C．2 【答案】C
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(0)?Asin??0,??=kπ,k?Z,?k?0,??0；
?????2，则?4??3??f??? ?8?B．?2 D．2
12πg(x)?Asin?x,?T??2π,∴??2， 又
12?2π又g()?2，∴A?2，
43π∴f(x)?2sin2x，f()?2.故选C.
8【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数g?x?，再根据函数性质逐步得出A,?,?的值即可.
7．【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________． 【答案】
π 22【解析】函数f?x??sin2x?1?cos4xπ，周期为. 22
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