∵ax2?1?0,∴x0?ax12a?x12 点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达
式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即x0??b2a 31已知函数f(x)?x2?2bx?c(c?b?1),f(1)?0，且方程f(x)?1?0有实根. (1)求证：-3 (2)若m是方程f(x)?1?0的一个实根，判断f(m?4)的正负并加以证明 分析：（1）题中条件涉及不等关系的有c?b?1和方程f(x)?1?0有实根. 及一个等式f(1)?0，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断f(m?4)的符号，因而只要研究出m?4值的范围即可定出f(m?4)符号. (1)证明：由f(1)?0，得1+2b+c=0,解得b??c?12，又c?b?1， 1??c?12?c 解得?3?c??13， 又由于方程f(x)?1?0有实根，即x2?2bx?c?1?0有实根， 故??4b2?4(c?1)?0即(c?1)2?4(c?1)?0解得c?3或c??1 ∴?3?c?1，由b??c?12，得b≥0. （2）f(x)?x2?2bx?c=x2?(c?1)x?c?(x?c)(x?1) ∵f(m)??1?0，∴c 点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题. 32定义在R上的函数f?x?满足：对任意实数m,n，总有f?m?n??f?m??f?n?，且当 x?0时，0?f?x??1. （1）试求f?0?的值； （2）判断f?x?的单调性并证明你的结论； （3）设A???x,y?f?x2??f?y2??f?1??,B???x,y?f?ax?y?2??1,a?R?，若 A?B??，试确定a的取值范围. （4）试举出一个满足条件的函数f?x?. 解：（1）在f?m?n??f?m??f?n?中，令m?1,n?0.得：f?1??f?1??f?0?. 因为f?1??0，所以，f?0??1. （2）要判断f?x?的单调性，可任取x1,x2?R，且设x1?x2. 在已知条件f?m?n??f?m??f?n?中，若取m?n?x2,m?x1，则已知条件可化为： f?x2??f?x1??f?x2?x1?. 由于x2?x1?0，所以1?f?x2?x1??0. 为比较f?x2?、f?x1?的大小，只需考虑f?x1?的正负即可. 在f?m?n??f?m??f?n?中，令m?x，n??x，则得f?x??f??x??1. ∵ x?0时，0?f?x??1， ∴ 当x?0时，f?x??1f??x??1?0. 又f?0??1，所以，综上，可知，对于任意x1?R，均有f?x1??0. ∴ f?x2??f?x1??f?x1???f?x2?x1??1???0. ∴ 函数f?x?在R上单调递减. （3）首先利用f?x?的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f的式子. f?x2??f?y2??f?1?即x2?y2?1， f?ax?y?2??1?f?0?，即ax?y?2?0. 由A?B??，所以，直线ax?y?2?0与圆面x2?y2?1无公共点.所以， 2a?12?1. 解得 ?1?a?1. x（4）如f?x????1??2??. 点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令m?1,n?0；以及m?n?x2,m?x1等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. 33设a为实数，函数f(x)?x2?|x?a|?1，x?R （1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的最小值. 解：（1）当a?0时，函数f(?x)?(?x)2?|?x|?1?f(x) 此时，f(x)为偶函数 当a?0时，f(a)?a2?1，f(?a)?a2?2|a|?1， f(a)?f(?a)，f(a)??f(?a) 此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 （2）（i）当x?a时，f(x)?x2?x?a?1?(x?1)2?a?324 当a?12，则函数f(x)在(??,a]上单调递减，从而函数f(x)在(??,a]上的最小值为f(a)?a2?1. 若a?12，则函数f(x)在(??,a]上的最小值为f(12)?34?a，且f(12)?f(a). （ii）当x?a时，函数f(x)?x2?x?a?1?(x?1232)?a?4 若a??12，则函数f(x)在(??,a]上的最小值为f(?12)?34?a，且f(?12)?f(a) 若a??12，则函数f(x)在[a,??)上单调递增，从而函数f(x)在[a,??)上的最小值为 f(a)?a2?1. 综上，当a??12时，函数f(x)的最小值为34?a 当?112?a?2时，函数f(x)的最小值为a2?1 当a?132时，函数f(x)的最小值为4?a. 点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过f(?x)?f(x)代入有 (?x)2?|?x?a|?1?x2?|x?a|?1，即|x?a|?|x?a| 可得，当a?0时，|x?a|?|x?a|，函数f(?x)?f(x)函数为偶函数. 通过f(?x)??f(x)可得 (?x)2?|?x?a|?1??x2?|x?a|?1 化得 2x2?2?|x?a|?|x?a|此式不管a?0还是a?0都不恒成立， 所以函数不可能是奇函数. （2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查. 34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息). 已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售 q量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中60的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元. （1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； 24（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后 还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？ 1 405881p分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关. 从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润. 解：（1）设该店的月利润为S元，有职工m名.则 S?q?p?40??100?600m?13200.
相关推荐：
loading