(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：任设x1 x1x1＋2 － x2x2＋2 ＝ . ?x1＋2??x2＋2? ∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) －＝. x1－ax2－a?x1－a??x2－a?x1x2a?x2－x1? ∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]． 1 12．已知函数f(x)＝ax＋a(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值． 1?1?1??a－解：f(x)＝a?x＋a，当a>1时，a－a>0，此时f(x)在[0,1]上为?11 增函数，∴g(a)＝f(0)＝a；当0 ??a，0 ∴g(a)＝?1 ??a，a≥1， ∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上 1 为减函数，又a＝1时，有a＝a＝1， ∴当a＝1时，g(a)取最大值1. 13．(2019·湖北八校联考)已知函数f(x)＝ 2?lnx?＋alnx＋b，x>0，? ?x1 ?e＋2，x≤0， 4 若f(e)＝f(1)，f(e)＝3f(0)，则函数f(x) 2 13的值域为(2，2]∪[2，＋∞)． ?4＋2a＋b＝b， 解析：由题意可得? ?1＋a＋b＝2， ?a＝－2，解得? ?b＝3， ∴当x>0时，f(x)＝(lnx)2－2lnx＋3＝(lnx－1)2＋2≥2； 111313 当x≤0时，2 ?x1? 14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f?x?＝f(x1)－ ?2? f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)证明：f(x)为单调递减函数； (3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x1＝x2>0， 代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0.故f(1)＝0. x1(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则x>1，由于当x>1 2 时，f(x)<0. ?x1? 所以f?x?<0，即f(x1)－f(x2)<0. ?2? 因此f(x1) (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)． ?x1??9? ??由fx＝f(x1)－f(x2)得，f?3?＝f(9)－f(3)． ?2??? 而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·河南郑州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2e)＝－f(x)(其中e＝2.718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令aln2ln3ln5 ＝2，b＝3，c＝5，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系(用不等号连接)为( A ) A．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a) D．f(a)>f(c)>f(b) 解析：∵f(x)是R上的奇函数，满足f(x＋2e)＝－f(x)，∴f(x＋2e)＝f(－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝e对称，∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数，∴f(x)在区间[0，e]上为增函数，又易知0 16．(2019·湖南湘东五校联考)已知函数f(x)＝ ??|x＋1|，－7≤x≤0，?g(x)＝x2－2x，设a为实数，若存在实数m，－2 ?lnx，e≤x≤e，? 使f(m)－2g(a)＝0，则实数a的取值范围为[－1,3]． 解析：当－7≤x≤0时，f(x)＝|x＋1|∈[0,6]，当e－2≤x≤e时，f(x)＝lnx单调递增，得f(x)∈[－2,1]，综上，f(x)∈[－2,6]．若存在实数m，使f(m)－2g(a)＝0，则有－2≤2g(a)≤6，即－1≤a2－2a≤3?－ 1≤a≤3.
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