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于P。求P点的轨迹。（10081601-4.gsp）
APMOBC
12．△ABC外接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。求证：PM=MS的充要条件是PN=NT。（10081601-3.gsp）
PBNMATOS
13．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E
在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。 求证 ：(AC+BC) 2＝4DL×EF。 （09011003.gsp）
DLCCOFABE
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14．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，
PF⊥AB于F。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp）
AFDBEC 15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足DO=DB，
E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。求证：AD⊥EF。（10080302.gsp）
APEBOFMC
16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点E，
使得DE＝AB。线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延长线上的一点。求证：点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。（2000年国家集训队）（10082201-1.gsp）
ADDCTPEB
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17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'，S是BC弧（不含A
点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。求证：P点到△ABC较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（10082201-5.gsp）
APIBI'CM 18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。
求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（10081601-2.gsp）
AFSEBDC 19．过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别为E、
F、G、H、I、K，过O作△ABC的外接圆的弦AL。 求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（09042002.gsp）
AHIFOEBKGCL
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20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，
劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。求证：BPB1Q为平行四边形。（10082001-1.gsp）
BQMB1PKCAN
21．圆O与圆O1、圆O2同时相切，切点为S、T，圆O1与圆O2交于A、B两点，且圆O2的圆心恰在圆O1上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。求证：PQ与圆O2相切。（40届IMO）（10082001-12.gsp）
CPAOO1BSQDO2UTR
22．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆
O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ=2∠NML。（98年伊朗竞赛）（10081601-5、6.gsp）（09022203.gsp）
LOQPKNM
23．设△ABC内接于圆O，过O作OE⊥BC交圆O于E，交AB于F，交AC延长线
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