-2017年大梦杯福建省初中数学竞赛试题

2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设a?2?3?2?3，则a?1的整数部分为（ ） aA．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B

【解答】由a2?2?3?22?3?2?3?2?3?6，知a?6。 于是a?111111?6?，(a?)2?6?2??8?，4?(a?)2?9。

a66aa61的整数部分为2。 a因此，a?（注：a?2?3?2?3?2．方程2x?(4?234?233?13?1????6） 2222x2)?3的所有实数根之和为（ ） x?2A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】 A 【解答】方程2x?(x2)?3化为2x(x?2)2?x2?3(x?2)2。 x?2即x3?5x2?10x?6?0，(x?1)(x2?4x?6)?0。 解得x?1。经检验x?1是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。

3．如图，A、B、C三点均在二次函数y?x2的图像上，M为线段AC的中点，BM∥y轴，且MB?2。设A、C两点的横坐标分别为t1、t2（t2?t1），则t2?t1的值为（ ）

A．3 B．23 C．?22 D．22 【答案】 D

2t1?t2t12?t2，)。 【解答】依题意线段AC的中点M的坐标为(22（第3题）

2t1?t2t12?t2，?2)。 由BM∥y轴，且BM?2，知B点坐标为(222t12?t2t?t?2?(12)2。 由点B在抛物线y?x上，知22222整理，得2t12?2t2，即(t2?t1)2?8。 ?8?t12?2t1t2?t2结合t2?t1，得t2?t1?22。

4．如图，在Rt△ABC中，?ABC?90?，D为线段BC的中点，E在线段AB内，CE与AD交于点F。若AE?EF，且AC?7，FC?3，则cos?ACB的值为（ ）

3321010A． B． C． D． 71477AEFC（第4题）

【答案】 B

【解答】如图，过B作BK∥AD与CE的延长线交于点K。 则由AE?EF可得，?EBK??EAF??AFE??BKE。 ∴ EK?EB。

又由D为BC中点，得F为KC中点。 ∴ AB?AE?EB?FE?EK?KF?FC?3。 ∴ BC?AC2?AB2?72?32?210。 ∴ cos?ACB?BDAKEFCBC210。 ?AC7或解：对直线AFD及△BCE应用梅涅劳斯定理得，

BDCFEA???1。 DCFEABBD由D为线段BC的中点，知BD?DC。 又AE?EF，因此，AB?CF?3。

结合AC?7，?ABC?90?，利用勾股定理得，BC?210。 所以，cos?ACB?

BC210?。 AC75．如图，O为△ABC的外接圆的圆心，R为外接圆半径，且R?4。直线AO、BO、CO分别交△ABC的边于D、E、F，则

111??ADBECF的值为（ ）

AFE1112A． B． C． D．

4323【答案】 C

【解答】由条件及等比定理，得

OOAS△OABS△OACS△OAB?S△OACS△OAB?S△OAC， ????ADS△ABDS△ACDS△ABD?S△ACDS△ABC同理，∴

BD（第5题）

COCS△OBC?S△OACOBS△OAB?S△OBC，。 ??CFS△ABCBES△ABCOAOBOC(S△OAB?S△OAC)?(S△OAB?S△OBC)?(S△OBC?S△OAC)????2。 ADBECFS△ABC又OA?OB?OC?R?4， ∴

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．记函数y?x2?2x?3（?1?x?2）的最大值为M，最小值为m，则M?m的值为 。

【答案】 8

【解答】∵ y?x2?2x?3?(x?1)2?2，?1?x?2，

∴ x?1时，y取最小值，即m?2；x??1时，y取最大值，即M?6。 ∴ M?m?8。

7．已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图像与x轴交于不同的两点A、B， C为二次函数图像的顶点，AB?2。若△ABC是边长为2的等边三角形，则a? 。

【答案】

11121????。 ADBECFR23

【解答】依题意ax2?bx?c?0有两个不同的实根，设为x1，x2，则AB?x1?x2?2。

bc∵ x1?x2??，x1x2?，

aab2cb2?4ac22?4b?4ac?4a∴ (x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?)?4??，即。 2aaa22