运用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学

运用波利亚“怎样解题表” 有效实施数学解题教学

（原载《中国数学教育》［高中版］2008年第11期）

时红军 严晓凤

【摘要】

在数学教学中,解题是最重要的活动形式之一。学生对数学概念的形成、数学命题的掌握、数学思维方法和技能技巧的获得以及学生智力的培养和发展,都必须通过解题教学来实现。而波利亚的“怎样解题表”给我们提供了一种解题方法和套路，本文初步探讨了如何运用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学。

【关键词】

怎样解题表 解题教学 数学问题

乔治·波利亚(G.Polya,1887-1985年)是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者.他十分重视解题在数学学习中的作用,并对解题方法进行了多年的研究和实践,绘制出举世闻名的“怎样解题表”,被各国数学界奉为解题宝典. “怎样解题”表的主要内容，分为“弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾”四个阶段。弄清问题,即明了已知数、未知数和条件;拟定计划,即找出已知数与未知数之间的联系或者考虑辅助问题,并具体拟定一个求解的计划;实现计划,即实现求解计划,检验每一步骤;回顾,即验算所得到的解,并将结果和方法试着用于其他问题[1]。每一个阶段又有一系列启发性问句。譬如：未知数是什么，（在证明题中要求证什么），已知数据是什么、你以前见过它吗、你是否见过相同的问题而形式稍有不同、你能利用它吗、你能利用它的结果吗、你能利用它的方法吗、你能用别的方法导出这个结果吗，等等。

数学解题教学不同于平常的概念教学,它是运用前面所学的基础理论、基本方法和一些特殊方法来解数学问题的一种教学方法,它充分体现教师和学生的数学素质,是目前素质教育不可忽视的内容。 本文试图对如何利用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学作初步探讨。

一、“弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成正确的审题方法

首先，必须让学生了解问题的文字叙述。已知是什么?未知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 教师可以要求学生重新叙述题目，并能够指出问题的主要部分。

其次，要教会学生形成正确的审题方法。数学问题的给出是通过“数学语言”达到的。符号语言简洁抽象，图形语言直观形象，而文字语言则通俗易懂。教师可以教学生利用数学语言的转换来培养学生好的审题习惯，形成正确的审题方法。例如：对于文字应用题，可以指导他们借助图像、图表将题目中条件之间的关系表示出来，将冗长拗口的文字叙述，直观的体现在图上，一看就能明白。这样用简洁明了的图形呈现的视觉形象进行问题表征，能简化看似复杂的问题，减少工作记忆的负担。再如：对于几何题，要求他们尽量将题目中的已知条件标在图上，这样文字与图形相结合，就不用看一下题，看一下图，分散时间和精力了。

另外，还要注意引导学生挖掘已知条件与所求之间的关系，特别是挖掘题

3n?n中的隐含条件。如计算C383n+C21?n，很多学生无从下手，也有学生用组合数公式展开后一看烦琐而丢笔，其实在组合数公式Cm中隐含着限制n

38?n?3n可求得n=10. 条件m?n且m?N,n?N,所以先解不等式组即???3n?21?n

二、“拟订计划”阶段，充分暴露思维过程，传授解题策略

很多时候，解题的过程并不是从已知条件到问题目标，而是从问题目标层层向上反推的过程，有些教师在上课时，分析课文内容似乎顺利流畅，讲解例题、习题似乎一气呵成。然而，这种表面上的“顺利流畅”，其实掩盖了教师备课中的深入思考，也可能掩盖教师解决问题时所经历的曲折或失误。这就容易给一些学生造成错觉:“为什么老师这么聪明，我这样笨?”这不利于学生思维的发展和自信心的形成。

有些教师愿意向学生暴露自己的思维过程。当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。学生们不但有机会学习数学教师解决问题的思想方法，还有机会了解，原来数学教师在解决问题时也会遇到挑战，也会经历曲折与失误。这对于学生形成正确的解题观，树立自信心是十分有益的。著名数学家希尔伯特在哥尼斯堡大学学习时，他常常把自己置于危险困难境地，对要讲的内容总是现想现推。这样一来，就使得同学们有机会瞧一瞧高明的数学思维过程如何进行，数学家是如何接受困难挑战的。

俗话说:失败是成功之母，有时候，失败的教训往往能让成功的过程更加深刻。例如，求函数y?x2?4?x2?2x?10的最值。第一次探索：解析式右边含根式，常用方法是将两边同时平方，得

y2?2x2?2x?14?2x2?4?x2?2x?10，

经过一次平方后右边仍然含有根式，还得再次平方。可是再平方一次后会出现x4项，运算非常麻烦。因此不得不转入第二次探索阶段。 第二次探索：通过观察发现右边的被开方式是二次式，能配方。

配方的结果是y?x2?4?(x?1)2?9, 进一步变形为y?(x?0)2?(0?2)2?[x?(?1)]2?(0?3)2

由此可看出,这个式子表示直角坐标平面内x轴上的点P(x,0)到两点A(0,2),B(?1,3)的距离之和，通过画图就可以找出最小值，判断无最大值。这种解题方法确实巧妙，给学生以美的享受。然而不向学生暴露探索过程，学生只能陶醉在美的享受中，而受益甚微。这就要求教师把自己在解题时由“失败——成功——再失败——再成功”的过程展示给学生，让学生真正体会到研究问题的方法，从而自觉地培养自己。

其次，教师应指导学生对数学解题过程进行分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成数学学习最重要的内容——数学的思想和方法。指导学生理解和运用数学思想方法，传授中学数学解题常用的解题策略:模式识别、问题转化、以退求进、正难则反等等。

三、“实现计划”阶段，加强基础教学，善用一题多变加深和提高解题能力

1、重视非智力因素的作用，规范运算过程。在教学中要重视培养学生科学严谨一丝不苟的品质。在运算训练中，要抓好教师板书、学生板演、平时作业等环节，对解题格式、解题过程要作严格的规范;要帮助学生克服运算的惰性，鼓励学生敢于运算、合理运算、认真运算，不怕麻烦；要帮助学生克服不认真审题、不认真分析的习惯，使学生养成良好的运算习惯。 2、重视基本知识的教学，强化运算基础。在教学中要注重基本知识的讲授，要帮助学生加强对数学概念的理解，区分邻近概念，对基本公式、法则透彻掌握。如运用公式和法则的错误：(a?b)3?a3?b3,loga(M?N)?logaM?logaN等。在教学过程中，按照理解—掌握—熟练的要求，编写一些使用概念较多、形式较灵活的习题，使学生在学习过程中比较那些容易混淆的概念，从而为运算能力的提高夯实基础。

3、在教学中利用变式教学,将题设条件或结论作相应的变化,按照一定的梯度设置变式题。如对那些铺垫题、迁移题、深化题的练习,会使学生快速反馈,并能通过变式练习,将所学知识串成一线,联成一体,从而激发学生的学习热情,使学生达到充分感受学习数学的魅力。如在讲解二次函数闭区间上的极值时,设置变化题组:（1）铺垫题:求下列函数的极值。①y?x2?2x?3,x?[0,3]②y?x2?2x?3,x?[?2,0]③y?x2?2x?3,x?[2,3]；（2）迁移题：求函数

（3）深化题：求函数y?sin2x?4acosx?3,x?[0,3]y?x2?2ax?3,x?[1,3]的极值；

的极值。显然,通过题组的练习，使学生总结归纳二次函数在闭区间上的极值的求解方法，得到解决相关的问题，从而增强了学生的数学素质,提高了数学解题

能力。

四、“回顾”阶段 ，加强解题后的反思教学 所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对审题过程、解题思路、解题途径、题目结论的反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发学习者的解题智慧，以达到事半功倍，提高中学生数学学科自我监控能力的目的。教师可以在课堂小结，单元复习时，适时地对某种数学思想方法的关键点或要素进行概括、强化和揭示，对它的内容、规律、运用等有意识地适度点拨。在解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的反思：

1、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完成后，对自己最初审题时在理解题意过程中是这样“获取信息”进行再思考。特别是对那些有过反复曲折过程的问题进行反思，比如获得过哪些信息？遗漏过哪些信息？为什么会遗漏这些信息？题意中的哪些信息是自己比较清楚的，哪些信息自己还不清楚？为什么不清楚？是被题目表面形式所迷惑，还是遗忘了？对条件和结论之间的哪些关系没有发现，关系转化是否有错误？对条件和结论是否作过适当讨论？讨论是否全面？以后在理解题意时应该怎样去做？等等。

y?3?集合N??例如：设集合M??(x,y)|(a2?1)x?(a?1)y?15?，?a?1?，?(x,y)|?x?2?且M?N??,求实数a的值。错解：M??(x,y)|(a?1)x?y?2a?1?，要使

?(a?1)x?y?2a?1无解，所以a满足条件M?N??，就是使方程组?2?(a?1)x?(a?1)y?15a?1?12a?1，解之，得a??1。教师可引导学生反思：集合M的转化是??15a2?1a?1