二次型

第六章 二次型

§1. 二次型的定义

二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。一个系数取自数域F含有n个变量x1,x2,?,xn的二次齐次多项式：

f(x1,x2,?,xn)?a11x1?2a12x1x2?2a13x1x3???2a1nx1xn

2?a22x2?2a23x2x3?2a24x2x4???2a2nx2xn???annxn22

称为数域F上的一个n元二次型，简称二次型。 令aij?aji，则上述二次型可以写成对称的形式：

nnij f(x1,x2,?,xn)?把上式的系数排成一个n阶方阵：

?a11??a21 A?????a?n1a12a22?an2??ai?1j?1xixj

????a1n??a2n? ???ann??称这矩阵为二次型f(x1,x2,?,xn)的矩阵。由于aij?aji，所以矩阵A是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。由此二次型可以写成矩阵的形式： f(x1,x2,?,xn)?XTAX 式中X??x1,x2,?,xn?。

T定理1：若A、B为n阶对称方阵，且XTAX?XTBX，则A=B。 这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。

例1：设f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x22?4x2x3?4x32，则它的矩阵为：

?1? A??1?0?1220??2? 4??例2：设f(x1,x2,x3)??4x1x2?2x1x3?2x2x3，则它的矩阵为：

?0? A???2?1??2011??1? 0???1?例3：设二次型的矩阵A???1?1??1?3?31???3?，则对应的二次型为： 0?? f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x1x3?3x22?6x2x3

和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。为此引入：

定义1：设x1,x2,?,xn和y1,y2,?,yn是两组变量，它们之间有关系式：

?x1?c11y1?c12y2???c1nyn??x2?c21y1?c22y2???c2nyn ?

???????xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn?称这关系式为由x1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn的一个线性替换，简称线性替换。可以用矩阵的形式表示这线性替换：

?x1??x2 X?????x?n??c11????c21????????c??n1c12c22?cn2????c1n????c2n????????cnn???y1??y2???CY ???yn??如果系数行列式C?0，则称线性替换为非退化的。

经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型。下面研究替换后的二次型与原二次型之间的关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵之间的关系。

设二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX经过非退化线性变换X?CY得到一个关于y1,y2,?,yn的二次型YTBY，下面寻找矩阵A、B之间的关系。

把变换X?CY代入f(x1,x2,?,xn)?XTAX得到：

T f(x1,x2,?,xn)?XTAX??CY?ACY?YTCTACY=YTBY

由此得：B?CTAC，这就是前后二个二次型的矩阵之间关系。为此引入

定义2：设A、B为两个n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得 B?CTAC 则称矩阵A、B是合同的，记作A~?B。

合同是矩阵之间的一种关系，它具有以下性质： （1）反身性：A~?A；

T?A；（2）对称性：A~（由B?CTAC得A??C?1?B?C?1?） ?B?B~?C?A~?C； （3）传递性：A~?B，B~（4）保秩性：若A~?B，则r(A)?r(B)；

（5）保对称性：若A~?B，且A为对称矩阵，则矩阵B也是对称的；

因此，经过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。这样把二次型的非退化线性变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。

§2. 化二次型为标准型

由于二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型：

d1x1?d2x2???dnxn222

因此二次型的一个基本任务是通过一个非退化的线性替换把二次型化为只含平方项而不含混合项的二次型。一般称只含平方项而不含混合项的二次型为标准二次型。因为标准二次型对应的矩阵是对角矩阵，所以化一般的二次型为标准型相当于对一般的对称矩阵A，寻找一个可逆矩阵C，使得为CTAC对角矩阵。

下面介绍三种化二次型为标准型的方法，并证明对实对称矩阵A，一定存在一个可逆矩阵C，使得为CTAC对角矩阵。 一、正交变换法

定理1：对任一个n元二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX，一定存在一个正交变换X=QY，使得

XTAX?YTQTAQY??1y12??2y22????nyn2

式中?1,?2,?,?n是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列向量?1,?2,?,?n是

矩阵A的对应于特征值?1,?2,?,?n的标准正交特征向量。

例1：用正交变换法，化二次型f(x,y)?x2?6xy?y2为标准型，且写出正交变换。

解：二次型的矩阵为A???31??，所以

?? ?I?A?(??2)(??4)?0

得?1??2,?2?4，对应的特征向量分别为?1??1,?1?T,?2??1,1?T

1?1??1?1单位化得：?1??,?,?,?2???

2?2??2?2?1?记Q??21???2?1???22?，则Q为正交矩阵，正交变换X=QY，且QTAQ????01???2?TT?13?0?? 4??所得标准形为：?2x?2?4y?2

下面看一下此题的几何背景。设平面上有一条有心曲线：x2?6xy?y2?4，经过上述线性变换后得到标准形：?2x?2?4y?2?4，这表明把平面围绕坐标原点按顺时针方向旋转450，在新坐标系下该二次曲线方程为：?2x?2?4y?2?4，这是一条双曲线。

例2：用正交变换法，化二次型f(x1,x2,x3)?2x1x3?x22为标准型，且写出正交变换。

?0?A?解：二次型的矩阵为?0?1?0101??0?，所以 0?? ?I?A?(??1)(??1)2?0

T得?1??1,?2?1,?3?1，?1??1对应的特征向量为?1???1,0,1?,?2??3?1对

应的特征向量为?2??0,1,0?,?3??1,0,1?

TT