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和∠AEC＞∠ABC是解此题的关键．
举一反三：
【变式】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD． 求证：DB=DE．
【答案与解析】
证明：如图，在△ABC中， ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠2=60°， ∵BD是中线，
∴BD是∠ABC的平分线， ∴∠1=30°， ∵CE=CD， ∴∠E=∠3， ∴∠E=∠2=30°， ∴∠E=∠1， ∴DB=DE．
类型四、等腰三角形的判定
5、如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由； （2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么
结论呢？
【思路点拨】（1）运用两三角形两底角相等得出等腰三角形； （2）由等腰三角形两腰相等求解；
（3）由△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC求解；
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（4）由OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得出△BDO和△ECO是等腰三角形，利用等腰三角形两腰相等得出△ODE的周长等于BC的长度． 【答案与解析】 解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC， ∴∠DBO=∠CBO， ∵DE∥BC，
∴∠CBO=∠DOB， ∴∠DBO=∠DOB， ∴DB=DO，
∴△DBO是等腰三角形， 同理△EOC是等腰三角形； （2）∵BD=4、CE=3，
∴由（1）得出DO=4，EO=3， ∴DE=DO+OE=4+3=7；
（3）△ADE的周长=AD+DO+OE+AE；
∵DO=DB，OE=EC，
∴△ADE的周长=AB+AC， ∵AB=12、AC=9，
∴△ADE的周长=AB+AC=12+9=21；
（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴△BDO和△ECO是等腰三角形， ∴BD=DO，CE=OE， ∵BC=16，
∴△ODE的周长为16．
即△ODE的周长等于BC的长度．
【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等． 举一反三
【变式】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：
①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC． 上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；
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证明：∵在△EBO和△DCO中，
∵
，
∴△EBO≌△DCO（AAS）， ∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB， 即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
类型五、 含有30°角的直角三角形
6. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.
【答案与解析】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，
又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°
∴在Rt△ACD中，AD=又∵∠ACB=90°， 在Rt△ACB中， ∴∠B=30°，
1AC， 211AB ∴AD= AB， 241则AD=BD，即BD=3AD.
3∴AC=
【总结升华】根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半可得到BC=2BD，AB=2BC，从而可推出AB=4BD，从而不难证得BD与AD的数量关系．此题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 举一反三：
【变式】如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长．
【答案】解：∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
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∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°， 又∵∠ABC=∠DCB=60°，
∴∠BDC=180°﹣30°﹣60°=90°， ∴BC=2CD=2×4=8cm． 类型六、反证法
7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 【答案】已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°∴∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设的结论不成立，则原题中的结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 举一反三：
【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ） A . a= —2 B . a= —1 C . a=1 D. a=2
2
北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1. （2016?曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ） A．40°，40° B．80°，20°
C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
2. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（ ）
A. 假设CD∥EF ; B. 假设AB∥EF
C. 假设CD和EF不平行
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D. 假设AB和EF不平行
3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一
条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 已知实数x，y满足|x?4|+(y?8)＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 5. 如图，D是AB边上的中点，将?ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若
2
?B?50?，则?BDF度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．不确定
6.（2015?永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二.填空题
7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．
8.（2015?嘉峪关模拟）等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是 ． 9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________. 10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .
11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 _________ ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
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