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12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那
么AD的长为 .
三.解答题
13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．
试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
14.（2016春?安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．
15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】解：∵外角等于100°，
∴这个内角为80°，
当这个80°角为顶角时，则底角为数分别为50°，50°；
当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°； 故选D．
2. 【答案】C；
【解析】用反证法证明CD∥EF时，应先假设CD与EF不平行．故选C．
=50°，此时另两个内角的度
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3. 【答案】B； 4. 【答案】B；
【解析】根据题意得
?x?4＝0, ??y?8＝0解得
?x?4. ??y?8（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8， 不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为4+8+8=20． 故选B．
5. 【答案】C；
【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，?BDF＝180°－50°－50°＝80°. 6. 【答案】D；
【解析】解：如图，
∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；
以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外）， ∴以OA为腰的等腰三角形有3个； 作OA的垂直平分线，交x轴于一点， ∴以OA为底的等腰三角形有1个， 综上所述，符合条件的点P共有4个， 故选：D．
二.填空题
7. 【答案】20；
【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°. 8. 【答案】12；
【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，
∵2+2=4＜5，
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∴不能组成三角形，
②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5， 能组成三角形， 周长=2+5+5=12，
综上所述，它的周长是12． 故答案为：12．
9. 【答案】两直线平行；
【解析】根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案. 10.【答案】70°或40°； 【解析】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；
（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°． 故答案为：70°或40°.
11.【答案】②③④； 【解析】：②当∠BAD=∠CAD时，
∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高； 则△ABD≌△ACD，
∴△BAC是等腰三角形；
③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；
∵AB+BD=CD+AC， ∴DE=DF，又AD⊥BC； ∴△AEF是等腰三角形； ∴∠E=∠F； ∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形； ④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得： AB﹣BD=AC﹣CD， 即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）； ∵AB﹣BD=AC﹣CD， ∴AB+BD=AC+CD； ∴两式相加得， 2AB=2AC； ∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形 故填②③④． 12.【答案】8；
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
2
2
2
2
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∴BD=DC．
∵AB+AC+BC=32， 即AB+BD+CD+AC=32， ∴AC+DC=16 ∴AC+DC+AD=24 ∴AD=8． 故填8．
三.解答题 13.【解析】
证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H， ∵AB＝AC，AE＝AD．
∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，
180??2x?90??x 2 即∠BDH＝90°－x
∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，
∴∠ADE＝
∴∠BHD＝90°，ED⊥BC. 14.【解析】
解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，
则有或，
解得：或，
此时两种情况都符合三角形三边关系定理，
答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．
15.【解析】
证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；
根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾； 所以假设错误，原命题正确； 即等腰三角形的底角是锐角．
北师大版八年级下册数学
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重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
直角三角形----知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．
2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用. 【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2?b2?c2.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建
立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：a?c?b，b?c?a， c??a?b??2ab.
22222222（4）勾股数：满足不定方程x?y?z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达
哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……
②如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
222，2n，n?1（n?1,n是自然数）是直角三角形的三条边长； ③n?1④2n?2n,2n?1,2n?2n?1（n是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤m?n,m?n,2mn （m?n,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中
，所以
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