1、思路
二维奇偶监督码是将水平奇偶监督码推广而得。它的方法是在水平监督基础上对方阵中每一列再进行奇偶校验（即将数据序列排成方阵，每一行每一列都加奇或偶监督码），发送按列（或行）的顺序传输。接收端仍将码元排成发送时方阵形式，然后每一行每一列都进行奇偶校验。
例：数据序列 1100 1010 1110 1001……（设每4位码元为一组） 1 1 0 0 0 （以偶监督为例） 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 1 监督码 监督码 发送的数据序列为（按列的顺序传输）：
1111010100011000001100101…… 2、检错能力
(1) 可发现某行或某列上奇数个错误。
(2)能检测出所有长度不大于方阵中行数（或列数）的突发错误。
（3）能检测出偶数个错误。但若偶数个错误恰好分布在矩阵的四个顶点上时，这样的
偶 数个错误是检测不出来的。
(4)可以纠正一些错误，当某行某列均不满足监督关系而判定该行该列交叉位置的码元
有错，从而纠正这一位上的错误。
例1：某系统采用水平垂直偶校验码，试填出下列矩阵中5个空白码位。
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0( ) 0 0 0( )1 1 0 0 1 0( )1 1 1 0 1 0 0 0 0( )0 1( ) 解：
0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0(1) 0 0 0(0)1 1 0 0 1 0(1)1 1 1 0 1 0 0 0 0(1)0 1(0)
例2：如果水平垂直奇偶校验码中的码元错误情况如下图所示，试问能否检验出来？
解：不能检验出来
第四节 汉明码及线性分组码?
一、汉明码（《综合练习习题与解答》计算题第10题） 1、(n,k)汉明码 r与n的关系为
2r?1?n或2r?k?r? （4-12）
例1：
n?15?r?4,k?15?4?11
n?7?r?3,k?7?3?4例2：如信息位为7位，要构成能纠正1位错码的汉明码，至少要加几位监督码？其编码
效 率为多少？ 解：k?7
2r?1?n?k?r?7?r 2r?8?r
根据估算得出r?4
kk7???63.6% nk?r7?4或者说 R?63.6%
编码效率为 R?2、（7，4）汉明码 （n?7,k?4,r?3）
（1）监督方程 （可产生（7，4）汉明码） 参见教材P113（4-16）或（4-17）
由此监督方程可求出监督码，附在信息码后即可得到（7，4）汉明码
例：已知信息码为1101，求所对应的（7，4）汉明码。 解：由监督方程求监督码
a2?a6?a5?a4?1?1?0?0 a1?a6?a5?a3?1?1?1?1
a0?a6?a4?a3?1?0?1?0 此（7，4）汉明码为1101010 （2）纠检错
方法——接收端收到（7，4）汉明码，由下述方程计算较正子S?(S1,S2,S3)，然后查表
4-4可知此（7，4）汉明码是否有错以及差错的确切位置。
S1?a6?a5?a4?a2 S2?a6?a5?a3?a1 （4-13）∽（4-15）
S3?a6?a4?a3?a0 表4-4参见教材P112
例：接收端收到某（7，4）汉明码为1001010，此（7，4）汉明码是否有错？错码位置为
何？
解：计算较正子
S1?a6?a5?a4?a2?1?0?0?0?1 S2?a6?a5?a3?a1?1?0?1?1?1
S3?a6?a4?a3?a0?1?0?1?0?0 较正子为110，此（7，4）汉明码有错，错码位置为a5。 ? （7，4）汉明码的dmin? （7，4）汉明码的R??3 能检错2位或纠错1位
k4??57% n7? 汉明码属于线性分组码
二、线性分组码 1、概念
线性码是指信息位和监督位满足一组线性方程的码；分组码是监督码仅对本码组起监督作用，既是线性码又是分组码称为线性分组码。 2、线性分组码的主要性质 （1）封闭性
所谓封闭性，是指一种线性码中的任意两个码组之模二和仍为这种码中的一个码组。
（2）码的最小距离等于非零码的最小重量
例1：根据此性质可求出表4-5的（7，4）汉明码的dmin?3
例2：已知一个线性分组码的码组集合为：
000000，001110，010101，011011，100011，101101，110110，111000 求该码组集合的汉明距离。
解：根据线性分组码的性质可以求出此码组集合的汉明距离为3。
第五节 循环码?
循环码是线性分组码中一类重要的码。（《综合练习习题与解答》计算题第11题） 一、循环码的循环特性 1、码的多项式
码组 A?an?1an?2??????a1a0 多项式 A(x)?an?1x例1：A=1011011
n?1?an?2xn?2......?a1x1?a0x0 （4-38）
A(x)?x6?x4?x3?x?1
例2：已知A(x)?x6?x5?x3?1，写出对应的码组。
解：A=1101001 2、循环特性
循环性——即循环码中任一许用码组经过循环移位后（将最右端的码元移至左端，或反之） 所得到的码组仍为它的一许用码组。 参见教材P117表4-6
例：已知（7，3）循环码的一个许用码组，试将所有其余的许用码组填入下表。 信 息 位 a6 监 督 位 a3 信 息 位 a6 监 督 位 a5a4 a2a1a0 a5a4 a3a2a1a0 0 0 1 解： 信 息 位 0 1 1 1 监 督 位 信 息 位 a6 监 督 位 a3a6a5a4 0 0 1 a3a2a1a0 0 1 1 1 a5a4 a2a1a0 1 1 1 0 0 1 0
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