图形的动点问题
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题型一：点运动产生函数
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我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形——圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.
典题精练
A
【例1】 ⑴ 如图，BC是eD的直径，A为圆上一点．点P从点A出发，沿?AB
CD1 B
运动到B点，然后从B点沿BC运动到C点．假如点P在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点P与点D的距离随时间变化的图象大致是（ ）
距离距离距离距离O时间O时间O时间O时间
A． B． C． D． ⑵ 如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出
D??线段DO的路线作匀速运动．发，沿线段OC?CD设运动时间为t秒，则下列图象中表示y与t的函数关系最恰当的是?APB的度数为y度，（ ）
y9045Oty9045OtCPOABy9045Oty9045Ot
A． B． C． D．
⑶ 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB?2，设弦AP的长为x，△APO 的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
y121A2 x y121B2 x y121C2 x y121D
DAOFCEGB2 x
EB⑷ 如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E， G为半圆
ACFOAG上运动时，设?AC的长为x，CF+DE= y，则下列图象中点, 当点C在?DG中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
y y y y
x O O x O x O A B C D
【解析】 ⑴ B．⑵ C．⑶ A．⑷ B．
2
x
题型二：点运动与面积变化
【例2】 如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向
点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
BPQ＇PB
AQ图1CAQ图2C（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 【解析】∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角． （1）BP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ∥BC，∴∴当t=
APAQ2010?2t2t??，解得t=， ，即
9ABAC10820s时，PQ∥BC． 9（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，∴S=
APPD610?2tPD??，即，解得PD=6-t． ABBC510611666515×AQ×PD=×2t×(6-t)= -t2+6t=-(t-)2+， 2255522515s时，S取得最大值，最大值为cm2． 22（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
∴当t=
则有S△AQP=
11S△ABC，而S△ABC=AC?BC=24，∴此时S△AQP=12． 2262
t+6t， 5由（2）可知，S△AQP=-
3
62
t+6t=12，化简得：t2-5t+10=0， 5∵△=(-5)2-4×1×10=-15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t． 如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴-
∴
APPDAD10?2tPDAD????，即， ABBCAC106868t，AD=8-t， 55解得：PD=6-
188∴QD=AD-AQ=8-t-2t=8-t．
55在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2， 186t）2+（6﹣t）2=（2t）2， 55化简得：13t2﹣90t+125=0，
即（8﹣
解得：t1=5，t2=
25， 1325． 13∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=由（2）可知，S△AQP=-62
t+6t 5∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（-
6262522524002
t+6t）=2×[-×()+6×]=cm． 55131316924002
cm． 169BQ＇P所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为
BPAQ图1DCAQ图2DC
【例3】 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A(4，2)，
，点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABCC(n，?2)（其中n?0）的边上依次沿O?A?B?C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为1，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．
⑴ 结合以上信息及图2填空：图2中的m?______；
⑵ 求B、C两点的坐标及图2中OF的长；
⑶ 若OM是?AOB的角平分线,且点G与点H分别是线段AO与射线OM上的两个动
4
点，直接写出HG?AH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由.
yS8DEy1O1xOt1Om图2F1x图1图3
【解析】 ⑴ m?25 ⑵ ∵四边形ODEF是等腰梯形
∴可知四边形OABC是平行四边形
由已知可得：S△AOC?8,连接AC交x轴于R点 又∵A(4，2)，C(n，?2)
∴S△AOC?S△AOR?S△ROC?0.5?RO?2?0.5?RO?2?2OR?8 ∴OR?4
∴OB?2RO?8,AR?OB ∴B(8，0) ,C(4，?2)且四边形OABC是菱形 ∴OF?3AO?65 yyA1O1RCBx(3) 如图3，在OB上找一点N使ON?OG,
连接NH AGM∵OM平分?AOB
1H∴?AOM??BOM
∵OH?OH O1NBx∴△GOH≌△NOH ∴GH?NH
∴GH?AH?AH?HN
根据垂线最短可知，AN是点A到OB的垂线段时，H点是AN与OM的交点 ∴GH?AH的最小值?AN?2
题型三：点运动产生特殊图形
典题精练
1. 因动点产生的等腰三角形问题
DM5
CPABN
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