基本不等式的应用技巧

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基本不等式的应用技巧

作者：蔡玉书 周松

来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2011年第01期

基本不等式：a，b是正实数，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.

利用基本不等式求函数的最值,是高中阶段常见的题型,必须熟练掌握,应用这个不等式求最值,有三点值得强调. 一是:各个量必须是正数；二是：求和的最小值，必须构造两个量的乘积是定值，求积的最大值必须构造和是定值；三是：要证明等号可以成立. 下面通过实例加以说明.

例1 已知正实数x, y满足x＋y＝1，求4x＋9y的最小值.

解：由x＋y＝1,得4x＋9y＝(x＋y)(4x＋9y)＝13＋4yx＋9xy≥13＋24yx?9xy=25. 当且仅当4yx＝9xy，x＋y＝1时等号成立，解得x＝25，y＝35.

变题：已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值. 解：由基本不等式得(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a＋yx＋axy≥1＋a＋2yx?axy＝1＋a＋2a＝(1＋a)2，当且仅当yx＝axy,即ax2＝y2时等号成立,所以(x＋y)(1x＋ay)的最小值是(1＋a)2，于是不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x, y恒成立，只要(1＋a)2≥9,解得a≥4,即正实数a的最小值是4.

例2 已知a,b,c＞0, 且a(a＋b＋c)＋bc=4-23,求2a＋b＋c的最小值. 解：[JP3]由a(a＋b＋c)＋bc=4－23得(a＋b)(a＋c)=

4-23=(3-1)2,

所以由均值不等式得2a＋b＋c=(a＋b)＋(a＋c)≥2(a+b)(a+c)=23－2. 例3 已知a,b是正数,且ab=a＋b＋3,求ab的最小值.

解法一：因为a,b是正数,且ab=a＋b＋3,显然a＞1,b＞1,所以(a-1)(b-1)=4,由均值不等式得(a-1)＋(b-1)≥2(a-1)(b-1)=4,即a＋b≥6,即ab=a＋b＋3≥9.

解法二：因为a,b是正数,且ab=a＋b＋3,所以ab≥2ab＋3,即(ab-3)(ab＋1)≥0,解得ab≥3,即ab≥9.