极坐标与参数方程知识讲解 

泉州七中数学组 王剑峰

参数方程和极坐标系

一、 知识要点

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即 ??x?f(t)

?y?f(t)并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：

x?x0?tcos? （t为参数）

y?y0?tsin?其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．

根据t的几何意义，有以下结论． 1．设○

A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝tB?tA＝

(tB?tA)2?4tA?tB．

2．线段AB的中点所对应的参数值等于○

2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：

tA?tB． 2x?x0?rcos? （?为参数）

y?y0?rsin?3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：

x?acos?y?bsin? （?为参数） （或

x?bcos?）

y?asin?中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程

?x?x0?acos?,(?为参数） ??y?y0?bsin?.4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：

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x?asec?x?btg? （?为参数） （或 ）

y?btg?y?asec?5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：

x?2pt2y?2pt直线的参数方程和参数的几何意义

（t为参数，p＞0）

0过定点P（x0，y0），倾斜角为?的直线的参数方程是 ? （t为参数）．

y?y0?tsin???x?x?tcos?J3.2极坐标系

1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数?、?对应惟一点P(?，?)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(?，?)（极点除外）的全部坐标为(?,?＋2k?)或（??，?＋(2k?1)?），(k?Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对?、?的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定?>0，0≤?＜2?或?<0，??＜?≤?等．

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点

与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．

3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：

M??O图1x泉州七中数学组 王剑峰

⑴???0 ⑵??⑷??

aa ⑶??? cos?cos?aaa ⑸??? ⑹?? sin?sin?cos(???)??M（ ， ）M??0M?a?Ox?O图1???0aO图2??acos?图3???acos???M（ ， ）M?a??OMO?aaON(a,?)p图4图5???a??sin?asin?图6??acos(???)4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a?0)： ⑴??a ⑵??2acos? ⑶???2acos? ⑷??2asin? ⑸ ???2asin? ⑹??2acos(???)

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a?O?MM?xMx??

OO?aa图1图2图3???2acos? x ??a??2acos??MOxa??Ma?Ox图4图5??2asin????2asin?标互化公式：

y ?x( , )

NM

?

y

? ?x??cos?O?22H ??x?y??2????? ??y??sin????tan??y(x?0)

x （直极互化 图）

M?a(a,?)?Ox图6??2acos(???)

5、极坐标与直角坐

泉州七中数学组 王剑峰

例题（j3.1参数方程）

例1.讨论下列问题：

1、已知一条直线上两点M1?x1,y1?、M2?x2,y2?，以分点M（x，y）分M1M2所成的比?为参数，写出参数方程。

?3x?3?t??2(t为参数)的倾斜角是 2、直线??y?1?1t?2?A．? 6B．? 3C．5? 6D．2? 3?x??1?tcos?3、方程?（t为非零常数，?为参数）表示的曲线是 ( )

y?3?tsin??A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 ?x?5cos?54、已知椭圆的参数方程是?（?为参数），则椭圆上一点 P (，?23)的离心角可

2?y?4sin?以是 A．

?2?4?5? B． C． D．

3333例2 把弹道曲线的参数方程

x?v0cos??t,?(1)?化成普通方程． ?y?vsin??t?1gt2, (2)0?2?例3. 将下列数方程化成普通方程．

2?1?1?t2?x?x?a(t?)x????2?x?2t2?x??my?1???1?t2t1?t①?，②?，③?，④?，⑤?．

2t1y?mx?1y?2t2t???y??y?b(t?)?y?2???t1?t??1?t2??x?cos2??x?acos?,6?7? (?为参数,a?b?0) ○○

?y?sin??y?bsin?.

例4. 直线3x－2y＋6=0，令y = tx ＋6（t为参数）．求直线的参数方程．

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例5.已知圆锥曲线方程是??x?3t?5cos??1

2?y??6t?4sin??5（1） 若t为参数，?为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离； （2） 若?为参数，t为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。

例6. 在圆x2＋2x＋y2=0上求一点，使它到直线2x＋3y－5=0的距离最大．

例7. 在椭圆4x2＋9y2=36上求一点P，使它到直线x＋2y＋18=0的距离最短（或最长）．

例8.已知直线；l：??x??1?3t与双曲线（y-2）2-x2=1相交于A、B两点，P点坐标P(-1，2)。

?y?2?4t求：

（1）|PA|.|PB|的值； （2）弦长|AB|; 弦AB中点M与点P的距离。

2例9.已知A（2,0）,点B,C在圆x2+y2=4上移动，且有?BAC?? 求?ABC重心G的轨迹方程。

3

x2y2??1和圆x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P1,在圆上求一点 P2,使|P1P2|达到最例10.已知椭圆

328大值，并求出此最大值。

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例11.已知直线l过定点P(-2,0),与抛物线C: x2+ y-8=0相交于A、B两点。（1）若P为线段AB的中点，求直线l的方程；（2）若l绕P点转动，求AB的中点M的方程.

x2y2例12.椭圆2?2?1(a?b?0)上是否存在点P，使得由P点向圆x2+y2=b2所引的两条切线

ab互相垂直？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

例题（J3.2极坐标系）

例1讨论下列问题：

1．在同一极坐标系中与极坐标M（－2, 40°）表示同一点的极坐标是（ ） （A）（－2, 220°） （B）(－2, 140°) （C）(2,－140°) （D）(2,－40°) 2．已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(4，0°), B(－4,－120°), C(23＋2, 30°)，则△ABC为( )。

（A）正三角形 （B）等腰直角三角形 （C）直角非等腰三角形 （D）等腰非直角三角形

3．在直角坐标系中，已知点M(－2，1)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

1)） 2111（B）（－5，argtg(－) （C）（－5，π－argtg） （D）（5，－π＋argtg）

222当极角在(－π，π] 内时，M点的极坐标为（ ） （A）（5，π－argtg(－例2..把点A(?5,?),B(3,?)的极坐标化为直角坐标。

64?例3.把点M(?3,?1),N(0,?3),P(2,0)的直角坐标化为极坐标。 例4.已知正三角形ABC中，顶点A、B的极坐标分别为A(1,0),B(3,例5.化圆的直角方程x2+y2-2ax=0为极坐标方程。 例6.化圆锥曲线的极坐标方程???2)，试求顶点C的极坐标。

ep为直角坐标方程。

i?ecos?例7.讨论下列问题：

1．在极坐标系里，过点M（4，30°）而平行于极轴的直线?的方程是（ ）

（A）?sin?＝2 （B）?sin?＝－2 （C）?cos??2 （D）?cos???2 2．在极坐标系中，已知两点M1(4，arcsin

221)，M2(－6，－π－arccos(－))，则线段M1M2

33泉州七中数学组 王剑峰

的中点极坐标为（ ） （A）(－1，arccos（C）(－1，arccos(－

221) （B）(1, arcsin) 33221)) （D）(1,－arcsin) 333. 已知P点的极坐标是(1,π)，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ ）。 （A）ρ=1 （B）ρ＝cosθ （C）ρcosθ=－1 （D）ρcosθ=1 4. 若ρ>0,则下列极坐标方程中，表示直线的是（ ）。

（A）θ=≤π)

5. 若点A(－4,

3? （B）cosθ= (0≤θ≤π) （C）tgθ=1 （D）sinθ=1(0≤θ

237?π)与B关于直线θ=对称，在ρ>0, －π≤θ<π条件下，B的极坐标63?)=1与极轴所成的角是 。 41)与曲线ρ2sinθ－ρsin2θ＝0的公共点的个数是（ ）。 2是 。 6. 直线ρcos(θ－

7. 直线ρcos(θ－α)=1与直线ρsin(θ－α)=1的位置关系是 。 8. 直线y=kx＋1 (k<0且k≠－

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 例8.讨论下列问题；

1. 圆的半径是1，圆心的极坐标是(1, 0)，则这个圆的极坐标方程是（ ）。 （A）ρ＝cosθ （B）ρ＝sinθ （C）ρ＝2cosθ （D）ρ＝2sinθ 2. 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是（ ）。

2 23. 在极坐标系中和圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程是（ ）

（A）ρsinθ=2 （B）ρcosθ=2 （C）ρsinθ=4 （D）ρcosθ=4 4．圆?＝Dcosθ－Esinθ与极轴相切的充分必要条件是（ ）

（A）2 （B）2 （C）1 （D）

（A）D·E＝0 （B）D2＋E2＝0 （C）D＝0，E≠0 （D）D≠0，E＝0 5．圆

??23sinθ－2cosθ的圆心的极坐标为 。

6. 若圆的极坐标方程为ρ=6cosθ，则这个圆的面积是 。

7. 若圆的极坐标方程为ρ=4sinθ，则这个圆的直角坐标方程为 。

8. 设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心的极坐标为(－4, 0)，则这个圆的极坐标方程为 。 例9.当a、b、c满足什么条件时，直线??

例10.试把极坐标方程

1与圆??2ccos?相切？

acos??bsin?22 化为直角坐标方程，并就m值的变化

m?cos??3?sin??6cos??0讨论曲线的形状。

泉州七中数学组 王剑峰

例11.过抛物线y2=2px的焦点F且倾角为?的弦长|AB|，并证明：

11为常数学。 ?|FA||FB|例12.设椭圆左、右焦点分别为F1、F2，左、右端点分别为A、A’,过F1作一条长度等于椭圆短轴长的

弦MN,设MN的倾角为?.（1）若椭圆的长、短轴的长分别为2a,2b,求证：

cos2??a;a?b

（2）若|AA’|=6,|F1F2|=42,求?.

22例13.求椭圆x?y?1的过一个焦点且互相垂直的焦半径为直角边的直角三角形面积的最小值。

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