2018年普通高等学校招生全国统一考试--全国1卷

解：作出可行域?ABC当且仅当直线z?3x?2y经过点A(2,0)时目标函数z取得最大值zmax?3?2?2?0?6

14.记Sn是数列{an}的前n项和。若Sn?2an?1，则S6=（ ）

解：Sn?2an?1当n?1时,a1?2a1=1，a1??1当n?2时,an?Sn?Sn?1?2an?1?(2an?1?1)?an?2an?1?{an}是以?1为首项，2为公比的等比数列?an??2n?1?S6??1?(1?26)??631?2

15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有（ ）种（用数字作答）解：分为两类12 第一类：只有1个女生入选，不同的选法有C2C4?12种；21第二类：有2个女生入选，不同的选法有C2C4?4种。

据加法原理知：共有12+4=16种16.已知函数f(x)?2sinx?sin2x，则f(x)的最小值是（ ）

解：f(x)?2sinx(1?cosx)[f(x)]2?4sin2x(1?cosx)2?4(1?cosx)(1?cosx)34(3?3cosx)?(1?cosx)?(1?cosx)?(1?cosx)4 ?[]3427?41(当且仅当3?3cosx?1?cosx,即cosx?时取等号)23333???f(x)?2233?f(x)的最小值为?217.在平面四边形ABCD,?ADC?900,?A?450,AB?2,BD?5(1)求cos?ADB；(2)若DC?22,求BC.

DCAB

解：(1)在?ABD中BDAB?sin?Asin?ADB52 ??0sin45sin?ADB?sin?ADB??ADB?900?cos?ADB?2352525(2)cos?BDC?sin?ADB?在?BCD中

2?255BC2?BD2?DC2?2BD?DCcos?BDC?25?8?2?5?22??BC?518.如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别为AD、BC的中点，以DF为折痕把?DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF?BF(1)证明：平面PEF?平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.zPD

PDEACHBxFyCHBFAE

解：(1)又BF?PF,BF?EF?BF?平面PEFBF?平面ABFD?平面PEF?平面ABFD

(2)作PH?EF,垂足为H则PH?平面ABFD在平面ABFD内,作HM?EFDE?PE,DP?2,DE?1?PE?3,PF?1,?PE?PF以H为原点，HM、HF、HP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则H(0,0,0),P(0,0,33),D(?1,?,0)22EF?233DP?(1,,)22平面ABFD的法向量为k?(0,0,1)设DP与平面ABFD所成角为?则sin??cos?k,DP??k?DP3=|k||DP|434

?DP与平面ABFD所成角的正弦值为x219.设椭圆C:?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点，2点M的坐标为(2,0) (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O是坐标原点，证明：?OMA??OMB

解：(1)F(1,0)，直线l的方程为:x?122)或(1,?)222?AM的方程为:y??(x?1)2点A的坐标为(1,

(2)当直线l与x轴重合时，?OMA??OMB?00当直线l与x轴垂直时，OM是AB的垂直平分线??OMA??OMB当直线l与x不重合不垂直时，设直线l的方程为:y?k(x?1)(k?0)A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?2,x2?2?y?k(x?1)?联立?x2 消去y2??y?1?2得：(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0?4k2x?x???122k2?1则?2?xx?2k?212?2k2?1?

kMA?kMB??y1y?2x1?2x2?22kx1x2?3k(x1?x2)?4k(x1?2)(x2?2)2kx1x2?3k(x1?x2)?4k

2k(2k2?2)?3k?4k2?4k(2k2?1)?2k2?1?0?kMA?kMB?0??OMA??OMB综上知：?OMA??OMB20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为p(0?p?1),且各件产品是否为不合格品相互独立。(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的 p0作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进人用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X)(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)20件产品中恰有2件不合格的概率2为f(p)?C20p2(1?p)182f?(p)?2C20p(1?p)17(1?10p)

pf?(p)f(p)(0,0.1)0.1(0.1,1)?0??f(p)的最大值点为p0?0.1(2)p?0.1(i)记余下的180件产品中的不合格品件数为Y则Y~B(180,0.1)X?20?2?25Y即：X?40?25Y则E(X)?E(40?25Y)?40?25EY?490(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元E(X)?400?应该对余下的产品作检验.

1?x?alnxx(1)讨论f(x)的单调性；21.已知函数f(x)?f(x)?f(x2)(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：1?a?2x1?x2

解：(1)f?(x)??1ax2?ax?1?1???(x?0)x2xx??(?a)2?4?a2?4(i)若a?2,则f?(x)?0(当且仅当a?2,x?1时，f?(x)?0)?函数f(x)在(0,??)递减(ii)若a?2由f?(x)?0解之得x1?xf?(x)f(x)?函数f(x)在(0, 在(a?a2?4a?a2?4 )、(,??)递减，22a?a2?4a?a2?4,x2?22(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,??)???a?a2?4a?a2?4)递增。22