人教版高中数学必修5 全册教案 基因详解 目 录
1.1正弦定理 1.2余弦定理 2.1数列的概念 2.2等差数列
2.3等差数列的前n和 2.4等比数例
2.5等比数例的前n项和 3.1不等式关系
3.2不等式一元二次不等式及其解法
3.3一元二次不等式（组）与简单线性规划问题 3.4基本不等式
第一章 解斜三角形
1．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 （二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：正弦定理的推导即理解 （三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：
asinA?bsinB?csinC，接着就一般斜
三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学过程 1[创设情景]
如图1．1-1，固定?ABC的边CB及?B，使边AC绕着顶点C转动。 A 思考：?C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角?C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 2[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数
abc?sinA，?sinB，又sinC?1?, A cccabc则???c b c sinAsinBsinCabc从而在直角三角形ABC中， C a B ??sinAsinBsinC的定义，有
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的
定义，有CD=asinB?bsinA,则同理可得从而
asinA?bsinB， C csinC??bsinB?， b a asinAbsinBcsinC A c B
(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作j?AC， C 由向量的加法可得 AB?AC?CB
则 j?AB?j?(AC?CB) A B ∴j?AB?j?AC?j?CB j
jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?
∴csinA?asinC，即
同理，过点C作j?BC，可得 从而
ac ?sinAsinCbc ?sinBsinCasinA?bsinB?csinC
类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
asinA?bsinB?csinC
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC； （2）
asinA?bsinB?csinC等价于
asinA?bsinB，
csinC?bsinB，
asinA?csinC
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?β
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 3[例题分析]
例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。
bsinA； sinBab解：根据三角形内角和定理，
C?1800?(A?B)
?1800?(32.00?81.80)
?66.20；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；
sinAsin32.00根据正弦定理，
asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).
sinAsin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理， 得
BDAB? DCACBDABDCACAC???，， sin?sin?sin?sin(1800??)sin?BDAB? DCAC0
0
两式相除得
五巩固深化反馈研究
A β 0B 180α 1已知ΔABC 已知A=60，B=30，a=3；求边b=（） : ? α D
Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ 3 D 2
C （2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 43-3 D 83-8 （3）正弦定理的内容是———————————— （4）已知a+b=12 B=450 A=600
则则
则a=------------------------，b=------------------------
（5）已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------
（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明六，课堂小结（有学生自己总结） 七 板书设计略
五 [课堂小结]（由学生归纳总结）
a?bsinA?sinB?? csinC
1.1.1 正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
a? = 。 sinAa2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即? ，
sinA1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即同理得 ，故有
a? 。 sinA3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即aa? ，故有? 。 sinAsinA【典例解析】一 新课导入，推导公式 （1）直角三角形中
（2）斜三角形中
正弦定理是
例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。 例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
BDAB? DCAC【达标练习】
1. 已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ
3 D 2
（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 43-3 D 83-8 -（3）正弦定理的内容是———————————— （4）已知a+b=12 B=450 A=600
则则则
则a=------------------------，b=------------------------
（5）已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------
（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明
a?bsinA?sinB?? csinC参考答案
【预习达标】
bcbcbca?1．a,b,. 2.bsinA asinB ,, ,=. ?sinBsinCsinBsinAsinCsinBsinCbbc3. .bsinA asinB ,, =.
sinBsinBsinC【典例解析】
如图1．1-3，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB?bsinA,则同理可得从而
asinA?bsinB， C csinC??bsinB?， b a asinAbsinBcsinC A c B
(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作j?AC， C 由向量的加法可得 AB?AC?CB
则 j?AB?j?(AC?CB) A B ∴j?AB?j?AC?j?CB j
jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?
∴csinA?asinC，即
同理，过点C作j?BC，可得 从而
ac ?sinAsinCbc ?sinBsinCasinA?bsinB?csinC
类似可推出，当?ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
asinA?bsinB?csinC
例1解：根据三角形内角和定理，
C?1800?(A?B)
?1800?(32.00?81.80)
?66.20；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；
sinAsin32.00根据正弦定理，
asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).
sinAsin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理， 得
A ββ B
0
α 180? α D
BDABDCACAC???，， sin?sin?sin?sin(1800??)sin?BDAB?两式相除得 DCACC 【双基达标】
1．（1）C（2）D（3）
bca=.（4）36-126 ?sinAsinBsinC126-24（5）2, 2.5, 3 ，
abc???k，则a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC sinAsinBsinCa?bksinA?ksinBsinA?sinB???
cksinCsinC2．证明：设
§1.1.2 正弦定理
【三维目标】：
一、知识与技能
1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．
二、过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观
1.培养学生处理解三角形问题的运算能力； 【教学重点与难点】：
重点：正弦定理的探索及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】：新授课 四教学过程
一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？ 二、例题讲解
例 1试推导在三角形中
abc===2RsinAsinBsinC其中R是外接
圆半径
证明 如图所示，∠A＝∠D
Cbcaa?2R，?2R ??CD?2R 同理 ∴
sinAsinDsinBsinCabc∴===2R sinAsinBsinC例2 在?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C
abAOBDcbccsinB1?sin6001：∵?b?c,B?600,?C?B,C?,?sinC???，
sinBsinCb23为锐角，
?C?300,B?900 ∴a?b2?c2?2
例3 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C
解
accsinA6?sin4503??,?sinC??? sinAsinCa22?csinA?a?c,?C?600或1200
csinB6sin750?当C?60时，B?75,b???3?1， 0sinCsin6000csinB6sin150?当C?120时，B?15,b???3?1
sinCsin60000?b?3?1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200 五、巩固深化，反馈矫正
1试判断下列三角形解的情况：
已知b?11,c?12,B?600则三角形ABC有（）解 A 一 B 两 C 无解 2已知a?7,b?3,A?1100则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在?ABC中，三个内角之比A:B:C?1:2:3，那么a:b:c等于____ 4.在?ABC中，, B=135 C=15 a=5则此三角形的最大边长为_____
5在?ABC中，已知a?xcm,b?2cm,B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_____
6.在?ABC中，已知b?2csinB，求?C的度数
00六、小结
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；
（2）
abcabbcac==等价于=，=，=，即sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinC可得正弦定理的变形形式：
1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC； 2）sinA?abc,sinB?,sinC?； 2R2R2RbsinA； sinBasinB。 b3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如a?2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如sinA?一般地，已知角A 边a和边b解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）． 外接圆法）如图所示，∠A＝∠D
a=bsinA有一解 a>bsinA有两解 a>b 有一解 a>b有一解 七板书设计 略
1.1.2正弦定理学案
— 预习达标
1 正弦定理的内容是——————————————————
2 在三角形ABC中已知c=10 A=450 C=300，则边a=---------，边b=-------，角B=------ 3在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40，则角B=-------------（可借助计算器） 二 典例解析
0例 1试推导在三角形中
abc===2R其中R是外接圆半sinAsinBsinC径
例2 在?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C 例3 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C 三 达标练习
1试判断下列三角形解的情况：
已知b?11,c?12,B?600则三角形ABC有（）解 A 一 B 两 C 无解 2已知a?7,b?3,A?1100则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在?ABC中，三个内角之比A:B:C?1:2:3，那么a:b:c等于____ 4.在?ABC中， B=135 C=15 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____
5.在?ABC中，已知a?xcm,b?2cm,B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_____
6.在?ABC中，已知b?2csinB，求?C的度数 学案答案 一预习达标1
000abc0== 2 102 ， 56+52 3 64 或sinAsinBsinC116
二典例解析
例1证明 如图所示，∠A＝∠D
Cbcaa?2R，?2R ??CD?2R 同理 ∴
sinAsinDsinBsinCabAOBD∴
abc===2R sinAsinBsinC例2 在?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C
cbccsinB1?sin6001：∵?b?c,B?600,?C?B,C?,?sinC???，
sinBsinCb23为锐角，
?C?300,B?900 ∴a?b2?c2?2
例3 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C
课题: 1．1．2余弦定理
授课类型：新授课
【教学目标】 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重、难点】
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【教学过程】
[创设情景] C 如图1．1-4，在?ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和?C，求边c b a A c B (图1．1-4)
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则 b c
c?c?c?a?ba?b ?a?a?b?b?2a?b C a B 22 ?a?b?2a?b从而 c2?a2?b2?2abcosC (图1．1-5)
2????同理可证 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b2?c2?a2 cosA?2bca2?c2?b2 cosB?2acb2?a2?c2 cosC?2ba[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 【典例分析】
例1．在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB
=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450 =12?(6?2)2?43(3?1) =8 ∴b?22.
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b2?c2?a2(22)2?(6?2)2?(23)21⑵解法一：∵cosA???,
2bc22?22?(6?2)
∴A?600.
a23?sin450, 解法二：∵sinA?sinB?b22又∵6?2＞2.4?1.4?3.8,
23＜2?1.8?3.6,
∴a＜c，即00＜A＜900,
∴A?600.
评述：解法二应注意确定A的取值范围。 【变式训练1】
．在△ABC中，若(a?c)(a?c)?b(b?c)，则?A? 解： a?c?b?bc,b?c?a??bc,cosA??2222221,A?1200 2例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
例3. 例2.在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x?23x?2?0的两根，
22cos?A?B??1。
（1） 求角C的度数； （2） 求AB的长；
（3）求△ABC的面积。 解：(1) cosC?cos[???A?B?]
2??cos?A?B???1?C?1200
2?a?b?23 （2）因为a，b是方程x?23x?2?0的两根，所以?
?ab?2?AB2?b2?a2?2abcos1200 ??a?b??ab?10?AB?10 （3）S?ABC?213 absinC?22评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必
直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。 【变式训练2】
在△ABC中，A?1200,c?b,a?21,S解：S?ABC?2ABC?3，求b,c。
1bcsinA?3,bc?4, 222 a?b?c?2bcosA,b?所以b?1,c?4 【课堂演练】
c?，而5c?b
1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A．90 B．120 C．135 D．150
000052?82?721?,??600,1800?600?1200为所求 解： 设中间角为?，则cos??2?5?82答案：B
2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 解：长为6的边所对角最大，设它为?， 则cos?? ?0????90? 答案：A
D. 锐角或钝角三角形
16?25?361??0
2?4?583.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.
5 18 B.
3 4 C.
73 D.
82解：设顶角为C，因为l?5c,∴a?b?2c，
a2?b2?c24c2?4c2?c27?? 由余弦定理得：cosC?2ab2?2c?2c8答案：D
4.在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2?c2?b2)tanB?3ac，则
角B的值为（ ）
A.
? 622
2 B.
??5? C.或 366 D.
?2?或33
(a2+c2?b2)3cosB3cosB解：由(a?c?b)tanB?3ac得即cosB= = 2ac2sinB2sinB?sinB= 答案：D
?2?3,又B为△ABC的内角，所以B为或
33213，则最大角的余弦是（ ） 141111A．? B．? C．? D．?
56781222解： c?a?b?2abcosC?9,c?3，B为最大角，cosB??
75．在△ABC中，若a?7,b?8,cosC?答案：C
6. 在?ABC中，bcosA?acosB，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为 b2?c2?a2a2?c2?b2?a? b?
2bc2ac 即2b2?2a2，?a?b
答案：C
[课堂小结]
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
§1．1．2余弦定理
【课前学案】
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在ΔABC中过A做AD垂直BC于D，则AD=b ,DC=b ,BD=a .由勾股定理
得c= = = ；同理得a= ；b= 。
2．cosA= ；cosB= ；cosC= 。 【典例解析】
例1 在三角形ABC中，已知a=3,b=2,c=19,求此三角形的其他边、角的大小及其面积（精
确到0.1）
例2 三角形ABC的顶点为A（6，5），B（-2，8）和C（4，1），求∠A（精确到0.1） 例3已知△ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?2sinC． （I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为
2
2
2
1sinC，求角C的度数． 6【双基达标】
1. 已知a,b,c是?ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c) (a＋b+c)=ab,则角C大小为（ ）
oo o o
A. 60 B. 90C. 120D.150
2．已知?ABC的三边分别为2，3，4，则此三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 3．已知?ABC，求证：
222（1）如果a?b=c，则∠C为直角；
222（2）如果a?b>c，则∠C为锐角；
222（3）如果a?b 4．已知a:b:c=3:4:5,试判断三角形的形状。 5．在△ABC中，已知tanB?13,cosC?,AC?36，求△ABC的面积 36．在?ABC中，?B?45?,AC?10,cosC?（1）BC?? 25,求 5（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度。 【典例解析】 例1（见教材） 例2（见教材） 例3解：（I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?2?1， BC?AC?2AB， 两式相减，得AB?1． （II）由△ABC的面积 111BCACsinC?sinC，得BCAC? 263AC2?BC2?AB2由余弦定理，得cosC? 2ACBC (AC?BC)2?2ACBC?AB21?，所以C?60． ?2ACBC2【课堂演练】 1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A．90 B．120 C．135 D．150 2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形 3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. 00005 18 B. 3 4 C. 73 D. 824.在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2?c2?b2)tanB?3ac，则 角B的值为（ ） ??5??2? C.或 D. 或36633135．在△ABC中，若a?7,b?8,cosC?，则最大角的余弦是（ ） 141111A．? B．? C．? D．? 5678A. B. 6. 在?ABC中，bcosA?acosB，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ? 6 【课后训练题】 1．在△ABC中，若a?7,b?3,c?8，则其面积等于（ ） A．12 B． 21 C．28 D．63 22. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是 ． 3．在△ABC中，若(a?c)(a?c)?b(b?c)，则?A? 4．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成（ ）三角形。 A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等腰 5.△ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2 则∠C的度数（ ） A、600 B、450或1350 C、1200 D、300 6.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 ( ) A.0?a?3 B.1?a?3 C.3?a?4 D.4 a2?b2?c27. △ABC中，a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若<0,则△ABC 2ab（ ） 8.在△ABC中，a=1,B=450,S?ABC?2,则△ABC的外接圆的直径是 . 9.在△ABC中,sinA?sinB+sinBsinC+sinC,则角A= . 三．解答题 10. 在四边形ABCD中，BC?a，DC?2a，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。 11.在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状. 12.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos（I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值． 222A25， AB?AC ?3．?25课题: §1．1．2余弦定理应用 授课类型：习题课 【教学目标】 1． 掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。 2． 较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。 【教学重、难点】 重点：熟练应用余弦定理。 难点：解三角形，判断三角形的形状。 【教学过程】 【知识梳理】 1．余弦定理： (1)形式一：a2?b2?c2?2bc?cosA，b2?a2?c2?2ac?cosB，c2?a2?b2?2ab?cosC 222222222b?c?aa?c?ba?b?c形式二：cosA?，cosB?，cosC?，（角到边的转换） 2bc2ac2ab2.解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解） 2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解） a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形3.三角形ABC中 a2?b2?c2?A是钝角??ABC是钝角三角形 a2?b2?c2?A是锐角??ABC是锐角三角形4.解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解） 2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解） 【典例应用】 题型一 根据三角形的三边关系求角 例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3 ＋1)∶(3 －1)∶10 ，求最大角. abc 解：∵sinA ＝sinB ＝sinC ＝k ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(3 +1)∶(3 －1)∶10 设a＝(3 ＋1)k，b＝(3 －1)k，c＝10 k (k＞0) a2＋b2－c2 则最大角为C.cosC＝2ab (3 ＋1)2＋(3 －1)2－10 21＝ ＝－2 2×(3 ＋1) (3 －1)∴C＝120°. 评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。 [变式训练1] 在△ABC中，若(a?b?c)(b?c?a)?3bc,则A? ( ) A．90 B．60 C．135 D．150 解： (a?b?c)(b?c?a)?3bc,(b?c)2?a2?3bc, 0000b2?c2?a21s??A,? b?c?a?3bc,coA2bc222206 0答案：B 题型二：题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形 2例2.在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x?23x?2?0的两根， 2cos?A?B??1。 （3） 求角C的度数； （4） 求AB的长； （3）求△ABC的面积。 评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。 [变式训练] 1在△ABC中，A?60,AC?16,面积S?2203,求BC的长 2. 钝角△ABC的三边长为连续的自然数，求三边的长。 题型三：判断三角形的形状 例3.在?ABC中，若bsinC?csinB?2bccosBcosC，试判断?ABC的形状. 2222解：方法一： 由正弦定理和已知条件得：sinBsinC?sinCsinB?2sinBsinCcosBcosC， ∵sinBsinC?0，∴sinBsinC?cosBcosC，即cos(B?C)?0， ∵B、C为?ABC的内角，∴B?C?90，A?90 故?ABC为直角三角形. 方法二： 原等式变形为：b2(1?cos2C)?c2(1?cos2B)?2bccosBcosC， 即：b?c?bcosC?ccosB?2bccosBcosC， 由余弦定理得： 2222222222a2?b2?c222a2?c2?b22a2?c2?b2a2?b2?c2b?c?b()?c()?2bc?? 2ab2ac2ac2ab[(a2?b2?c2)?(a2?c2?b2)]222222b?c?a ?b?c??24a故?ABC为直角三角形. 222评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。 [变式训练2] 1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 a2?c2?b2解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b. ac答案：C 2. 在?ABC中，bcosA?acosB，则三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为 b2?c2?a2a2?c2?b2?a? b? 2bc2ac 即2b2?2a2，?a?b 答案：C [典例训练] 1．在△ABC中，若C?900,a?6,B?300，则c?b等于（ ） A．1 B．?1 C．23 D．?23 2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） 1A．sinA B．cosA C．tanA D． tanA3．在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA?sinB,则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为600，则底边长为（ ） A．2 B． 3 C．3 D．23 25．在△ABC中，若b?2asinB，则A等于（ ） A．300或600 B．450或600 C．1200或600 D．300或1500 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A．900 B．1200 C．1350 D．1500 7.在△ABC中，若acosA?bcosB?ccosC,则△ABC的形状是什么？ 8．在△ABC中，求证： abcosBcosA??c(?) baba9．在△ABC中，设a?c?2b,A?C??310．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。 [课堂小节]：熟练应用余弦定理解三角形，判断三角形的形状。 [课下作业]：[典例训练]部分的5、7、10 ,求sinB的值。 : §1．1．2余弦定理应用 [课前学案] [课前回顾] 1.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b= ,c= ,∠C= 2.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a= ,c= ,∠C= . 3.在?ABC中，sin2A+sin2B=sin2C ,则?ABC是 。 4．在?ABC中，acosA=bcosB ,则?ABC是 。 abc??5.在?ABC中，s ,则?ABC是 。 cosAcosBcosC6. 在?ABC中，a2+b2=c2,则?ABC是 三角形。 7.在?ABC中，a2+b2>c2, a2+c2>b2 c2+b2>a2则?ABC是 三角形。 8. 在?ABC中，a2+b2 9. 在?ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13则?ABC是 三角形。 a2?(b?c)2?1,则∠A= 。 10. 在?ABC中， bc11．a=4,b=3,∠C=60°,则 c= . 12.a=2,b=4,c=3,则∠B= 。 13．在?ABC中，b=4,c=3,BC边上的中线S＝ 。 37, 则∠A= ，a= , 2[达标演练] ??1．在?ABC中，a?5，B?105，C?15，则此三角形的最大边的长为__________． ??2．在?ABC中，a?b?12，A?60，B?45，则a?_________，b?________． ?3．在?ABC中，已知b?3，c?33，B?30，则a?___________． ??4．在?ABC中，a?6，B?30，C?120，则?ABC的面积是（ ） A．9 B．18 C．93 D．183 5．在?ABC中，若 ?sinAcosB?，则B的值为（ ） ab???A．30 B．45 C．60 D．90 6．在?ABC中，若b?2asinB，则这个三角形中角A的值是（ ） A．30或60 B．45或60 C．60或120 D．30或150 7．在?ABC中，“A?B”是“sinA?sinB”的（ ） ????????A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 BC中，osC?ccosA的值为8．在?A角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则ac（ ） A．b B．9已知两线段a?1，b?A．(0, b?c C．2cosB D．2sinB 2 2，若以a、b为边作三角形，则a边所对的角A的取值范围（） ?] B．(0,) C．(0,] D．(,) 62463?????10．在?ABC中，B?60，若此三角形最大边与最小边之比为(3?1):2，则最大内角（） A．45 B．60 C．75 D．90???? 11．在?ABC中，角A、B的对边分别为a、b，且A?2B，则 A．(0,3) a的取值范围是（ ） bB．(1,2) C．(,1) D．(0,2) 12??12．（1）在?ABC中，已知A?30，B?120，b?5，求C及a、c的值； ?（2）在?ABC中，已知A?45，AB?6，BC?2，解此三角形． ，C的对边分别为13.(文科做) （07山东文17）在△ABC中，角A，Ba，b，c，tanC?37． （1）求cosC； （2）若CBCA?5，且a?b?9，求c． 2: §1．1．2余弦定理应用 [课后训练题] 1. 在?ABC中，若（a-c cosB）sinB=（b-c cosA）sinA, 则这个三角形是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形 2.设a，a+1，a+2为锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ） A. 4 222??2??2? B C D 或 333634．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范 围是（ ） A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞) D．（3，+∞） 5.?ABC中，A??3，BC=3，则?ABC的周长为 （ ） A．43sin?B??????????3 B．43sin?B???3 3?6??C．6sin?B???????? D．?36sinB?????3 3?6???,a=3,b=1，则c= 36．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A= (A)1 (B)2 () 3－1 (D) 3 a2?b2?c27.已知?ABC的三边分别为a，b，c，且S?ABC＝，那么角C＝ . 48.在?ABC中，若A?120?，AB=5，BC=7，则AC=__________ 9。已知ΔABC的顶点为A（2，3），B（3，-2）和C（0，0）。求（1）∠ACB；（2）AB；（3）∠CAB；（4）∠ABC。 10． 在?ABC中，已知 a?bsinB＝,且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C. asinB?sinA 试确定?ABC的形状. 11．在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C ，a+c=2b，求此三角形的三边之比。 12． 在?ABC中，?A、?B、?C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件 b2?c2?bc?a2和 c1??3，求?A和tanB的值 b2第二章数列 课题 §2.1.1数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 （第1课时） ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 4，5，6，7，8，9，10． ① 11111，2，3，4，5，…. ② 1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③ 1，1.4，1.41，1.414，…. ④ -1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤ 2，2，2，2，2，…. ⑥ 观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义） 上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序. 从而引出数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： a1,a2,a3,?,an,?，或简记为?an?，其中an是数列的第n项 1结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“3” 是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 1111345 项 1 2↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式： an?1n来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式：如果数列 ?an?的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那 么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以 n?11?(?1)n?1an?|cos?|an?22是，也可以是. ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数 an?f(n)， 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，… 6．数列的分类： 1）根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2）根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [范例讲解] 例1 根据下面数列 ?an?的通项公式，写出前5项： （1） an?n;(2)an?(?1)n?nn?1 分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项 解：（1） n?1,2,3,4,5.a1?12345;a2?;a3?;a4?;a5?;23456 1;a2?2;a3??3;a4?4;a5??5;2 (2) n?1,2,3,4,5.a1?例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 22?132?142?152?1;,;;345（1）1，3，5，7； （2）2 1111（3）-1?2，2?3，-3?4，4?5. 解： （1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1 ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1， ∴它的一个通项公式是： an?2n?1； （2）序号：1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1 即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项 (n?1)2nan?n?1； 公式是： 1 3 3 4 ? ? ? ?1111????（3）序号 1?2 2?3 3?4 4?5 ‖ ‖ ‖ ‖ (?1)1 1111(?1)2(?1)3(?1)21?(1?1) 2?(2?1) 3?(3?1) 2?(2?1) 1n(n?1) 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正， an?(?1)n所以它的一个通项公式是： Ⅲ.课堂练习 课本[练习]3、4、5 [补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： 246810(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 3, 15, 35, 63, 99, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,……. 2n1?(?1)naaa2 解：(1) n＝2n＋1； (2) n＝(2n?1)(2n?1)； (3) n＝； (4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……, 1?(?1)na2∴n＝n＋； (5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……， ∴ an＝(－1)n?1n(n＋1) Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。 Ⅴ.课后作业 课本习题2.1A组的第1题 §2.1.1数列的概念与简单表示法 【课前预习】 1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是 A、19 B、 20 C、 21 D 、22 2、观察下面数列的特点，用适当的数填空 111 （1） ， ， ， ， ； 4916351733 （2） ， ， ， ， ， 。 2416323 .已知数列 ?an?，an?kn?5,且a8?11，则a17? . 4 根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。 （1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为 . （2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为 . 1524354863,,,,,,25101726（3）数列的一个通项公式为 . 5.已知数列1 C 2 ?an?满足a1??2， an?1?2?2an1?an，则a4? . 1（1）1，25 965, （2）864 3.29 2(n?3)2?171?an?(1?n)n2?1 5.5 10;（2）an=2+2·(-1)n+1 （3）4. （1）an=9【课内探究】 1 展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？ （1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 （2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an} （3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。 3 数列的表示方法 （1）函数y=7x+9 与y=3 x ，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？ （2）定义数列{an}的通项公式 （3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？ （4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。 4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，-1/2，1/3，-1/4； （2）2，0，2，0． 【课后提高】 1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是 . 2.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5= . 815243.数列-1,5，-7，9，…的一个通项公式是 . 4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示） 15.若数列{an}的通项公式an=(n?1)，记（fn）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)= (用含n的代数式表示）. 6.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： 246810（1）3，15，35，63，99，… 1925（2）2，2，2，8，2，… 2（3）5，55，555，5 555，55 555，… （4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，… （5）1，3，7，15，31，… n个???（3）联想99?9=10n-1, n个n个????5???5?则an=55?5=9(99?9)=9(10n-1), 5即an=9 (10n-1). （4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…， n?则an=5sin2. （5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，… ∴an=2n-1 故所求数列的通项公式为an=2n-1. 学校：二中 学科：数学 编写人：赵云雨 一审：李其智 二审：马英济 课题 §2.1.2数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 （第２课时） ●教学目标 知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与 an的关系 过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项 ●教学难点 理解递推公式与通项公式的关系 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入] 数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 数列的表示方法 通项公式法 如果数列 ?an?的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 的通项公式为 的通项公式为 ； ； 个数列的通项公式。 如数列 图象法 的通项公式为 ； 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为纵坐标，即以 为横坐标，相应的项 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐 标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以 直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 递推公式法 知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；即：1?4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2?5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3?6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4?7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5?8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6?9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7?10＝7+3 若用 an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an?n?3(1≤n ≤7） 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。 让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。 a?6?5?1?a2?1 即a1?4；a2?5?4?1?a1?1；3依此类推： an?an?1?1（2≤n≤7） 对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 定义： 递推公式：如果已知数列 ?an?的第1项（或前几项）aa，且任一项n与它的前一项n?1（或前 n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为： a1?3,a2?5,an?an?1?an?2(3?n?8) 数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 示第一项，用 4、列表法 ．简记为 [范例讲解] ． 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为 表 a1?1??1?a?1?(n?1).?na??an?1例1 设数列n满足?写出这个数列的前五项。 解：分析：题中已给出 ?an?的第1项即a1?1，递推公式： an?1?1an?1 a1?1,a2?1?解：据题意可知：[补充例题] 158112?2,a3?1??a4?1??,a5?a335 a1a23， a?2an 写出前5项，并猜想an． 例2已知a1?2，n?1n232a?2a?2?2?2a?2a?2?2?2n3法一：1 2 ，观察可得 法二：由 an?1an?2?2an ∴an?2an?1 即an?1 anan?1an?2a??????2?2n?1aan?2an?3a1 ∴ n?1 5．数列的前n项和： 数列 ?an?中，a1?a2?a3???an称为数列?an?的前n项和，记为Sn. S1表示前1项之和：S1=a1 S2 表示前2项之和：S2=a1?a2 …… Sn?1表示前n-1项之和：Sn?1=a1?a2?a3???an?1 Sn表示前n项之和：Sn=a1?a2?a3???an. ∴当n≥1时3．由 Sn才有意义；当n-1≥1即n≥2时Sn?1才有意义. Sn与an之间的关系： Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn?1， ?S1(n?1)?S?Sn?1(n?2)a即n=?n. 说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法. 三、例题讲解 例3已知数列5项 ?an?的第1项是1，以后的各项由公式 an?1?1an?1给出， 写出这个数列的前1an?1 分析：题中已给出 ?an?的第1项即a1?1，递推公式： an?1?a1?1,a2?1?解：据题意可知： 113?2,a3?1??a1a22 a4?1?158?,a5?a335 例4已知数列解：由已知得 ?an?中，a1?1,a2?2,an?3an?1?an?2(n≥3） ，试写出数列的前4项 a1?1,a2?2,a3?3a2?a1?7,a4?3a3?a2?23 a?2an 写出前5项，并猜想an． 例5已知a1?2，n?123n2a?2?2?2a?2a?2a?2?2?2法一：1 2 3，观察可得 n 法二：由 an?1an?2?2an ∴an?2an?1 即an?1 anan?1an?2a??????2?2n?1aan?2an?3a1 ∴ n?1 n?1na?a?2?2n1 ∴ 例6 已知数列⑴ ?an?的前n项和，求数列的通项公式： Sn=n2+2n； ⑵ Sn=n2-2n-1. 解：⑴①当n≥2时， an=Sn-Sn?1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1； 2②当n=1时，a1=S1=1+2×1=3； ③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3， ∴ an=2n+1为所求. an=Sn-Sn?1=(n2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； 2⑵①当n≥2时， ②当n=1时，a1=S1=1-2×1-1=-2； ③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2， ??2(n?1)?a2n?3(n?2)为所求. ∴n=?Ⅲ.课堂练习 课本P36练习2 Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容： 1．递推公式及其用法； 2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系. Ⅴ.课后作业 习题2。1A组的第4、6题 §2.1.2数列的概念与简单表示法 课前预习 1.数列1,0,1,0,1,?的一个通项公式是 （ ） 1???1?n?11???1?n?1n??1??1?1???1?naaa??A. n?2 B. n?2 C. n2a D. n22.已知 an?1?an?3?0，则数列?an?是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 3.数列?an?的通项公式为 an?3n2?28n，则数列?an?各项中最小项是 （ A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 4.已知数列的通项公式为 an?n2?8n?15，则3 （ ） A. 不是数列 ?an?中的项 B. 只是数列?an?中的第2项 C. 只是数列 ?an?中的第6项 D. 是数列?an?中的第2项或第6项 5.数列1,3,6,10,x,21,28,?中，由给出的数之间的关系可知x的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 17 D. 18 6.下列说法正确的是 （ ） 数列1，3，5，7可表示为?1,3,5,7? 数列1，0，?1,?2与数列?2,?1,0,1是相同的数列 ??n?1??1?1数列?n?的第k项是 k D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集N*的函数 7.数列{a}的前n项和S2nn?2n?3n，则an? 。 1.B2.A3.B4.D5.B6.C7 an?4n?5 课内探究 1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) a1＝0, an?1＝an＋(2n－1) (n∈N)； 2an(2) a1＝1, an?1＝an?2 (n∈N)； (3) a1＝3, an?1＝3an－2 (n∈N). ） 2aaa 解：(1) a1＝0, a2＝1, 3＝4, a4＝9, 5＝16, ∴ n＝(n－1); 1212222??aaa(2) a1＝1,a2＝3,3＝24, a4＝5, 5＝36, ∴ n＝n?1; 012a(3) a1＝3＝1+2?3, a2＝7＝1+2?3, 3＝19＝1+2?3, a4＝55＝1+2?33, a5＝163＝1+2?34, ∴ an＝1＋2·3n?1; 2． ．已知下列各数列(1) ?an?的前n项和Sn的公式，求?an?的通项公式 Sn＝2n2－3n; (2) Sn＝3n－2. 解：(1) a1＝－1, an=Sn-Sn?1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5, 又a1符合a1＝4·1－5, ∴ an＝4n－5; n?1n?1naSS(2) a1＝1, n=n-n?1＝3－2－(3－2)＝2·3, ?1?n?1a2?3n?∴＝n?1n?2 n?1na?a?2?2n1∴ 课后提高 1. 设数列2,5,22,11,,则25是这个数列的 A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2. 数列 {an}的前n项积为n2，那么当n?2时，{an}的通项公式为 n2(n?1)2an?an?22(n?1)2a?2n?1a?nnnn A. B. C. D. 3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）。 （A）an= 1－(－1)n （B）an=1＋(－1)n＋1 n? （C）an=2sin22 （D）an=(1－cosnπ)＋(n－1)(n－2) 4. 在数列 {an}中，an?1?an?2?an，a1?2,a2?5，则a6的值是 A.?3 B.?11 C.?5 D.19 31537,,,,,55. 数列211717的一个通项公式是 。 2{a}S?2n?3n，则an? 。 nn6. 数列的前n项和 7. 数列{an}满足a1?a2??an?2n2?3n?1，则a4?a5??a10? 。 8. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有___________个点. （1） （2） （3） （4） （5） 。 。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 22{b}{a}S?n?pnT?3n?2n， nnnn9. 已知数列的前n项和，数列的前n项和 （1）若 a10?b10，求p的值； （2）取数列{bn}中的第1项, 第3项, 第5项, {cn}, 求数列{cn}的通项公式. 构成 一个新数列 10.（1）已知数列 {an}的前n项和公式，求{an}的通项公式 ① Sn?2n2?3n； ②Sn?2?3n?1 a 1—4、BDDA 5、n?n?23n?2 6、an?4n?5 9、（1）36 （2） cn?12n?11 a?5 (n?1)n??n?1(2) ?4?3(n?2,n?N) 7、161 8、8n2?n?1、 10 (1)an?4n?1 等差数列教案 教学目标： 知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想 过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。 教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。 教学过程： 创设情境，课题导入 复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：（大屏幕显示课本41页的四个例子） ⑴、0 5 10 15 20 … … ⑵、48 53 58 63 ⑶、18 15.5 13 10.5 8 5.5 ⑷、10072 10144 10216 10288 10360 提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。 （二）设置问题，形成概念 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示。 提出问题：等差数列的概念中的几个关键点是什么？ 数学语言： an?an?1?d (n?2） 或 an?1?an?d (n≥1) 理解等差数列的概念是本节课的重点，为了加深对概念的理解，让学生讨论课本45页练 习第4题，教师总结。 （三）等差数列的通项公式 提出问题：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。数列⑴、⑵、⑶、⑷的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 再问：若一个无穷等差数列｛ an｝ ，首项是a1，公差为d，怎样得到等差数列的 通项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳） a2?a1?d 即：a2?a1?d a3?a2?d 即：a3?a2?d?a1?2d a4?a3?d 即：a4?a3?d?a1?3d … … 至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。 此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我 们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？ （然后学生在教师的引导下一起探索另外的推导方法） 叠加法：｛ an｝是等差数列，所以： an?an?1?dan?1?an?2?dan?2?an?3?d … … a2?a1?d 两边分别相加得：迭代法：｛ an?a1?(n?1)d 所以：an?a1?(n?1)d an｝是等差数列，则： an?an?1?d?an?2?2d?an?3?3d = … …=a1?(n?1)d an?a1?(n?1)d am?a1?(m?1)d 即：a1?am?(m?1)d 所以： 由以上关系还可得： 则： an?a1?(n?1)d?am?(m?1)d?(n?1)d am?(n?m)d an?am?(n?m)d = 即得等差数列的第二通项公式： （四）通项公式的应用： 观察通项公式并提出问题：要求等差数列的通项公式只需要求谁？ 再追问：通项公式中有几个未知量？ 再追问：要求其中的一个，需要知道其余的几个？ 例1、等差数列｛ an｝中， a⑴已知：a1?2 d?3 求n ⑵已知：a1?3 an?21 d?2 求n a?27 求d ⑶已知：a1?8 6d? ⑷已知： 1 3 a7?8 求a1 （题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。） 例2、1、求等差数列8、5、2… …的第20项 解：由a1?8 d?5?8??3 n?20得： a20?8?(20?1)?(?3)??49 2、?401是不是等差数列?5、?9、?13… …的项？如果是，是第几项？ a??5?4(n?1)??4n?1 解：由a1??5 d??9?(?5)??4得n 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得： ?401?4n?1成立 解得：n?100即?401是这个数列的第100项。 例3、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？ 分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为：a1?11.2 公差d?1.2 当出租车行至目的地即14km处时，n=11 求a11 所以：a11?11.2?(11?1)?1.2?23.2 例4：数列 an?3n?5是等差数列吗？ an?an?1 (n?2)是不是一个与n无关的常 （引导学生根据等差数列的定义求解，就是看数。） an?an?1?3n??3(n?1)?5??3 所以：a｛n｝是等差数列 引申：已知数列｛ an｝的通项公式an?pn?q，其中p、q为常数，这个数列是等差数 列吗？若是，首项和公差分别是多少？ （指定学生求解） 解：取数列｛ an｝中任意两项an和an?1 (n?2) an?an?1?(pn?q)??p(n?1)?q??pn?q?(pn?p?q)?p 它是一个与n无关的常数，所以｛ 并且：a1?p?q d?p an｝是等差数列？ 小结：上节课我们已学习过数列是一种特殊的函数，那么由此题启示，等差数列是哪一类函数？等差数列是关于正整数ｎ的一次函数，还可以是常数函数，当ｄ＝０的时候。 通过例三，我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一个数列是等差数列？ （学生讨论、回答，教师补充） 一是利用定义： an?an?1?d (n?2） 或 an?1?an?d (n≥1) 二是利用通项公式： an?pn?q (p?R) 是关于ｎ的一次函数或常数函数。 课堂检测反馈： 求等差数列10、８、６… 的第２０项。 －20是不是等差数列０、3.5、－7… 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。 等差数列｛等差数列｛等差数列｛ an｝中，已知：a5?10 a12?31 求a1和d an｝中，已知：a5?6 a8?15 求a14 an｝中，已知：a1?a6?9 a4?7 求a3、a9 （五）课时小结： （学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结） 等差数列的定义： an?an?1?d (n?2） 或 an?1?an?d (n≥1) 等差数列的通项公式： an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d （六）课后作业： 课本45页习题2．2（A组）3、4 2. 2.1等差数列导学案 一、课前预习： 1、预习目标： ①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式； ②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； ③体会等差数列与一次函数的关系。 2、预习内容： （1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母d表示。 （2）、等差中项：若三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做a与b的 ， 即2A? 或A? 。 （3）、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。 （4）、等差数列的通项公式： an? 。 二、课内探究学案 例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项 解：由a1?8 d?5?8??3 n?20得： a20?8?(20?1)?(?3)??49 2、?401是不是等差数列?5、?9、?13… …的项？如果是，是第几项？ a??5?4(n?1)??4n?1 解：由a1??5 d??9?(?5)??4得n 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得： ?401?4n?1成立 解得：n?100即?401是这个数列的第100项。 例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？ 分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为：a1?11.2 公差d?1.2 当出租车行至目的地即14km处时，n=11 求a11 所以：a11?11.2?(11?1)?1.2?23.2 例3：数列 an?3n?5是等差数列吗？ 变式练习：已知数列｛ an｝的通项公式an?pn?q，其中p、q为常数，这个数列是等 差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ （指定学生求解） 解：取数列｛ an｝中任意两项an和an?1 (n?2) an?an?1?(pn?q)??p(n?1)?q??pn?q?(pn?p?q)?p 它是一个与n无关的常数，所以｛ 并且：a1?p?q d?p 三、课后练习与提高 在等差数列 an｝是等差数列？ ?an?中， a已知a1?2,d?3,n?10,求n= 已知已知 a1?3,an?21,d?2,求n? a1?12,a6?27,求d? 1d??,a7?8,3已知求a1? a?2、已知 13?2,b?113?2，则a,b的等差中项为（ ） 1A3 B2 C3 D2 3、2000是等差数列4，6，8…的（ ） A第998项 B第999项 C第1001项 D第1000项 4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（ ） A第13项 B第14项 C第15项 D第16项 5、在等差数列 ?an?中，已知a1?2,a2?a3?13,则a4?a5?a6等于（ ） A 10 B 42 C43 D45 6、等差数列-3，1， 5…的第15项的值为 7、等差数列 ?an?中， a1?1,d?025且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d 的取值范围是 8、在等差数列 ?an?中，已知a5?10,a12?31,，求首项a1与公差d 2??ax?a3x?a4?0的跟，求?an?的通项a,an9、在公差不为零的等差数列中，12为方程 公式。 10、数列判断数列求数列 ?an?满足 a1?4,an?4?4an?1(n?2),，设 bn?1an?2 ?bn?是等差数列吗？试证明。 ?an?的通项公式 *??aa?3a?n(n?N)，问是否存在适当的a1 ，使是等差数列？ nn?1n11、数列满足 b1?（2） 1111n?bn???n?1???a1?22，222 ?n12?n?1???an?2an?2 n 注：有学生在解本题第二问的时候，通过已知条件写出数列 ?an?的前几项，然后猜想通项 公式，由于猜想的公式需要证明，所以这种解法在现阶段是有问题的。 11、解：假设存在这样的a1满足题目条件。 an?2?3an?1?n?1(n?N*) ?an?2?an?1?2an?1?n?1 *a?3a?n(n?N) 可得an?1?an?2an?n n?1n由已知 ?an?2?an?1?an?1?an 即2an?1?n?1?2an?n ?an?1?an??12，满足等差数列的定义，故假设是正确的。即存在适当的a1的值使数列12的等差数列。 ?an?为公差为 由已知条件 ?an?1?3an?n，令n?1 a1?13?3a1?1a1??24。 ，解得 ?a2?3a1?1 即 2.2.2等差数列的性质教案 市第二中学 数学 编写人：李其智 审稿人：马英济 一、教学目标： 知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。 过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。 情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。 二、教学重点、难点： 重点：等差数列的性质及推导。 难点：等差数列的性质及应用。 三、新课讲解： 等差数列的常见性质：若数列① ?an?为等差数列，且公差为d，则此数列具有以下性质： an?am??n?m?d； d?an?a1an?am?n?1n?m； ② *a?an?ap?aqm?n?p?qm,n,p,q?N③若（），则m； ④ 2an?an?m?an?m。 an?a1??n?1?d，右边=a1??m?1?d??n?m?d?a1??n?1?d?左边 d?an?a1a?amd?nn?1；由an?am??n?m?d可得n?m 证明： ①左边= ②由 an?a1??n?1?d可得 ③左边?a1??m?1?d?a1??n?1?d?2a1??m?n?2?d 右边?a1??p?1?d?a1??q?1?d?2a1??p?q?2?d 又因为m?n?p?q，所以左边=右边，故得证。 ④左边?2?a1??n?1?d? 右边?a1??n?m?1?d?a1??n?m?1?d?2a1??2n?2?d?2?a1??n?1?d?=左边 等差数列的其它性质： ①即 ?an?为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和， a1?an?a2?an?1?a3?an?2???ai?1?an?i??。 *a,a,a,??k,m?N?组成公差为md的等差 ②下标成等差数列且公差为m的项kk?mk?2m数列。 ③若数列 ?an?和?bn?均为等差数列，则?an?bn??,kan?b?（k,b为非零常数）也为等差数 列。 ④m个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m个等差数列的公差之和。 四、例题讲解： 例1、已知 ?an?是等差数列，a2?5,a8?17,求数列的公差及通项公式。 ?an?是等差数列， Key ：d=2，an=2n+1 【变式】已知（1）已知： a15?8,a60?20,求a75 a15?33,a45?153,求a61。 （2）已知： Key（1） a75=24（2）a61=185 例2、已知Key： ?an?是等差数列，若a3?a4?a5?a6?a7?450,求a2?a8。 a2?a8=180 【变式1】在等差数列 ?an?中，已知a1?2,a2?a3?13,则a4?a5?a6等于 （ ） A. 40 B. 42 C. 43 D. 45 Key ：B 1a1?,a2?a5?4,an?33,则n?a?3【变式2】等差数列n中，已知为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 Key ：C 【变式3】已知等差数列 ?an?中，a7?a9?16,a4?1，则a12的值为 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 Key ：A 五、小结： 本节课的主要内容是等差数列的性质，对这些性质我们应当熟练掌握，并能够在解题过程中灵活的运用，以便简化解题过程。 2.2.2等差数列的性质导学案 市第二中学 数学 编写人：李其智 审稿人：马英济 一、课前预习： 等差数列的常见性质：若数列① ?an?为等差数列，且公差为d，则此数列具有以下性质： an?am??n?m?d； d?an?a1an?am?n?1n?m； ② *a?an?ap?aqm?n?p?qm,n,p,q?N③若（），则m； ④ 2an?an?m?an?m 用等差数列的定义证明： 二 、课内探究： 1、等差数列的其它性质： ①即 ?an?为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和， a1?an?a2?an?1?a3?an?2???ai?1?an?i??。 *a,a,a,??k,m?N?组成公差为md的等差 ②下标成等差数列且公差为m的项kk?mk?2m数列。 ③若数列 ?an?和?bn?均为等差数列，则?an?bn??,kan?b?（k,b为非零常数）也为等差数 列。 ④m个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m个等差数列的公差之和。 2、典例分析： 例1、已知 ?an?是等差数列，a2?5,a8?17,求数列的公差及通项公式。 Key ：d=2，an=2n+1 【变式】已知（1）已知： ?an?是等差数列， a15?8,a60?20,求a75 a15?33,a45?153,求a61。 （2）已知： Key（1） a75=24（2）a61=185 例2、已知Key： ?an?是等差数列，若a3?a4?a5?a6?a7?450,求a2?a8。 a2?a8=180 【变式1】在等差数列 ?an?中，已知a1?2,a2?a3?13,则a4?a5?a6等于 （ ） A. 40 B. 42 C. 43 D. 45 Key ：B 1a1?,a2?a5?4,an?33,则n?a?3【变式2】等差数列n中，已知为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 Key ：C 【变式3】已知等差数列 ?an?中，a7?a9?16,a4?1，则a12的值为 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 Key ：A 三、课后提高： 1、已知等差数列 ?an?中，a2?6，a5?15，?b?b?a2n， 若n则数列n的前5项和等于（ ） A．30 B．45 C．90 D．186 2、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________ 3、三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． ． 4、已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． 答案 ?a2?a1?d?6?a1?3???a?a?4d?15?d?3, ?an?3?3(n?1)?3n,bn?a2n?6n, 11、【解析】由?5S5?6?30?5?90.2【答案】 C 所以 2、【标准答案】：１５ 【试题解析】：由于 ?an?为等差数列，故a3?a8?a5?a6∴a5?a3?a8?a6?22?7?15 3、解 设三个数分别为x－d，x，x＋d． ?(x－d)＋x＋(x＋d)=15则?222?(x－d)＋x＋(x＋d)=83 解得x＝5，d＝±2 ∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3 说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法 4、证 ∵a、b、c成等差数列 ∴2b=a＋c ∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c ＝a＋(a＋c)＋c ＝2(a＋c) ∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列． 说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c． 2. 3 .1等差数列的前n项和（一） 教学目标： 1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法． 2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题 3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思 教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应 教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 内容分析： 本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法 教学过程： 一、复习引入： 首先回忆一下前几节课所学主要内容： 1．等差数列的定义： ?an－an?1=d ， （n≥2，n∈N） 2．等差数列的通项公式： an?a1?(n?1)d (an?am?(n?m)d或an=pn+q (p、q是常数)) 3．几种计算公差d的方法： an?a1an?amaa① d=n－n?1 ② d=n?1 ③ d=n?m A?4．等差中项： a?b?a,b,2成等差数列 a?an?ap?aq5．等差数列的性质： m+n=p+q ?m (m, n, p, q ∈N ) 6．数列的前n项和： 数列 ?an?中，a1?a2?a3???an称为数列?an?的前n项和，记Sn. “小故事”: 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101； 2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们： （1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西 （2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法 二、讲解新课： 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔? 这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且 可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？ 这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解. 1．等差数列的前n项和公式1：证明： ①+②： Sn?n(a1?an)2 Sn?a1?a2?a3???an?1?an ① Sn?an?an?1?an?2???a2?a1 ② 2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an) a1?an?a2?an?1?a3?an?2??? Sn?n(a1?an)2 ∵ ∴ 2Sn?n(a1?an) 由此得： 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2． 等差数列的前n项和公式2： 用上述公式要求 Sn?na1?n(n?1)d2 Sn必须具备三个条件：n,a1,an Sn?na1?n(n?1)d2 但 an?a1?(n?1)d 代入公式1即得： 此公式要求 Sn必须已知三个条件：n,a1,d （有时比较有用） 总之：两个公式都表明要求公式二又可化成式子： Sn必须已知n,a1,d,an中三个 Sn?d2dn?(a1?)n22，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 三、例题讲解 例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？ 解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为 ?an?，其中a1?1,a120?120，根据等差数列前n项和的公式，得 120?(1?120)?72602 S120?答：V形架上共放着7260支铅笔 例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为则 ?an?，前n项为Sn a1??10,d?(?6)?(?10)?4,Sn?54 ?10n?n(n?1)?4?542 由公式可得 解之得：n1?9,n2??3（舍去） ∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54. 例3一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n. n(n?1)2 解：由(n－2)·180＝100n＋×10， 求得n－17n＋72＝0, n＝8或n＝9, 当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8. 例4在等差数列 2?an?中，已知a6?a9?a12?a15?34，求前20项之和． 分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求a1，d求解；也可以用等差数列的性质求解． 解：法一 由 a6?a9?a12?a15?4a1?38d?34.由 S20?20a1?20?19d2 ?20a1?190d?5(4a1?38d)?5?34?170 法二 由 S20?(a1?a20)?20?10(a1?a20)a?a15?a9?a12?a1?a20，所以2，而6a1?a20?17，所以a20?10?17?170 小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质．在本题的第二种解法中，利用 am?an?ap?aq(m?n?p?q)这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常 用方法． 四．巩固练习 ?的元素个数，并求这些元素的和 1．求集合M??m|m?7n,n?N*且m?100 aaS3．等差数列{an}的首项为1，公差为d，项数为n，第n项为n，前n项和为n，请填 写下表： a1 5 -38 d 10 -2 n 10 8 an -10 Sn 104 -360 4.在等差数列 ?an?中，a4?0.8，a11?2.2，求a51?a52?Sn?n(a1?an)2 n(n?1)d2 ?a80. 五、小结 本节课学习了以下内容： 1.等差数列的前n项和公式1： 2.等差数列的前n项和公式2： Sn?na1?3. Sn?d2dn?(a1?)n22，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 六、课后作业： P46 . 4题, 6题 七、板书设计（略） 八、课后记： 2.3.1 等差数列的前n项和（一）（学案） 一、【学习目标】 1、知识与技能: 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题 2、经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法， 学会观察、归纳、反思 二、【本节重点】 等差数列前n项和公式的理解、推导及应用. 三、【本节难点】 灵活运用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 四、【知识储备】 1、 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质 2、 (1)一般形式： (2)通项公式： (3)前n项和：3、等差数列 (1)定义： a1,a2,?,an an?f(n) Sn?a1?a2??an an?an?1?d(n?2)?{an}成等差数列 an?a1?(n?1)d?An?B (2)通项公式： 推广： (3)性质： an?am?(n?m)d a?b2 a与b的的等差中项A?A? ① ② 若m?n?p?q,则am?an?ap?aq 特别地： ③ 奇数项 偶数项 若m?n?2p,则am?an?2apa1,a3,a5,?成等差数列，公差为2d a2,a4,a6,?成等差数列，公差为2d 五、【自主学习】 1、学习等差数列2、等差数列 ?an?前n项和Sn公式推导过程。 ?an?的公差为d，首项为a1，前n项和Sn Sn? ， Sn? 。 公式（1）公式（2） 3、 前n项和公式 Sn与n的关系:式变形: d2dn(n?1)Sn?na1?d?n?(a1?)n22 2 六、 [小试身手] 1 等差数列(1)已知 ?an?中， a1?3,a50?101 则s50=__________________ (2)已知 a1?3， d? 1 2 则s10=___________________ d?1315an?sn??2，2，2 则a1=______及n=_____________ 2等差数列 ?an?中，已知 2an??S?3n?2n，则公差d? . n3、等差数列中，若 七、[典型例析] 例1 在等差数列{an}中， (1)已知a15＝10，a45＝90，求 s60 (2)已知S12＝84，S20＝460，求S28； (3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8． 例2 在等差数列{ an}中，已知a6+ a9+ a12+ a15 = 34，求前20项之和 八、[当堂检测] 1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。 2．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数. 1)2) a1?3,an?2n?1,Sn?195 求d,n a2?a6?16,S6?39求d,an d?3,a2?7,n?12,求a1,Sn an}中，a2+a5=19 S5 =40 则a10为 an}中，d=2, an=11, Sn =35 则a1为 3. 4. 在等差数列{ (A)27 (B)28 (C)29 (D)30 5. 在等差数列{ (A)5或7 （B）3或5 （C）7或－1 （D）3或－1 6. 已知数列1,2,3,4，?,2n, 则其和为 ，奇数项的和为 。 九、重点概念总结应用 aaS等差数列{an}的首项为1，公差为d，项数为n，第n项为n，前n项和为n，请填写 下表： a1 5 -38 d 10 -2 n 10 8 an -10 Sn 104 -360 检测答案： 1. an=2n+1. 2. d=2 ,n=13 3. a1?4,s12?246 22s?2n?ns?n2n奇4. C 5.A 6. , 2.3.2 等差数列的前n项和（二） 教学目标 1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值； 2.过程与方法：经历公式应用的过程； 3.情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。 教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点 灵活应用求和公式解决问题 授课类型：新授课 教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前n项和公式1： Sn?n(a1?an)2 n(n?1)d2 2.等差数列的前n项和公式2： Sn?na1?Ⅱ.讲授新课 例1.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 求其前n项和的公式. 解：由题设： S10?310 S20?122 0?10a1?45d?310?a1?4???20a1?190d?1220??d?6： 得： sn?4n?n(n?1)?6?3n2?n2 易得： 探究 1. sn,s2n,s3n之间的关系 例2. 已知数列求证：⑴⑵ ?an?,是等差数列，Sn是其前n项和， S6，S12-S6，S18-S12成等差数列； Sn,S2n?Sn,S3n?S2n （n?N?）成等差数列 证明：设 ?an?,首项是a1，公差为d 则∵ S6?a1?a2?a3?a4?a5?a6 S12?S6?a7?a8?a9?a10?a11?a12 ∴ ?(a1?6d)?(a2?6d)?(a3?6d)?(a4?6d)?(a5?6d)?(a6?6d)?(a1?a2?a3?a4?a5?a6)?36d?S6?36dS18?S12?a13?a14?a15?a16?a17?a18?(a7?6d)?(a8?6d)?(a9?6d)?(a10?6d)?(a11?6d)?(a12?6d)?(a7?a8?a9?a10?a11?a12)?36d?(S12?S6)?36d ∴ ∵ S6,S12?S6,S18?S12是以36d为公差的等差数列 同理可得 Sn,S2n?Sn,S3n?S2n是以n2d为公差的等差数列. 例3. 已知数列解：根据 {an}的前n项和为 sn?n2?1n2，求这个数列的通项公式. sn?a1?a2???an?1?an 与 sn?1?a1?a2???an?1, (n>1) 得： 当n>1时， 111??2an?sn?sn?1?n2?n???n?1???n?1???2n?222 ⑴ ??当n=1 时， 也满足⑴式 a1?s1?12?13?1?22 an?2n?12 所以数列 {an}的通项公式为： 探究2. 课本P51的探究活动 2??a,S?pn?qn?r，nn一般地，如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p?0， 那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 2S?pn?qn?r，得S1?a1?p?q?r n分析： 由 22a?S?S(pn?qn?r)?[p(n?1)?q(n?1)?r]=2pn?(p?q) n?2nnn?1当时= ?d?an?an?1?[2pn?(p?q)]?[2p(n?1)?(p?q)]=2p ?S1?a1?p?q?r,当n?1时an???Sn?Sn?1?2pn?(p?q),当n?2时 结论：通项公式是 探究3. 对等差数列的前n项和公式2： Sn?na1?n(n?1)d2可化成式子： Sn?d2dn?(a1?)n22，当d≠0，是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢？ 245,4,3,??ss77的前 n项和n，求使得n最大的序号n的值. 例4. 已知等差数列 2455,4,3,???77解：由题意得，等差数列的公差为7，所以 n?5?75n?5n25?15?1125sn??2?5?(n?1)(?)?????n???2?7?1414?2?56 15s 于是，当n取与2最接近的整数即7或8时，n取最大值。 例 5. 在数列{ 2an}中，已知an?25?2n， (n?N*)，那么使其前n项和Sn取得最大值 a13<0, 的n值等于 . 解：依题意知，a1>0 ...a12>0, 易知s12最大，即n取12时和最大. 小结： 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 利用当当 an: an>0，d<0，前n项和有最大值可由an≥0，且an?1≤0，求得n的值 an<0，d>0，前n项和有最小值可由an≤0，且an?1≥0，求得n的值 利用 Sn： d2dn?(a1?)n22利用二次函数配方法求得最值时n的值 由 Sn?Ⅲ.课堂练习 已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和。 2.已知数列 {an}的前n项和为 sn?122n?n?343，求这个数列的通项公式. 3. 等差数列{4. 等差数列{ an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和Sn的最小值. an}的第10项为23，第25项为－22，求此数列 (1)第几项开始为负？ (2)前10项的和？ (3)从首项到第几项之和开始为负？ 5. 在等差数列{Ⅳ.课时小结 an}中，已知a1=25, S9= S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。 (n?1),?S1an??Sn?Sn?1(n?1,n?N*).Sa?nn1. 表示, 2．差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)当当 an>0，d<0，前n项和有最大值可由an≥0，且an?1≤0，求得n的值。 an<0，d>0，前n项和有最小值可由an≤0，且an?1≥0，求得n的值。 (2)由3. Sn?d2dn?(a1?)n22利用二次函数配方法求得最值时n的值 Sn,S2n?Sn,S3n?S2n是以n2d为公差的等差数列. Ⅴ.课后作业 课本P46 3题 2.3.2 等差数列的前n项和（二） 一．【学习目标】 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决求通项公式，求前n项和的最值等问题.. 二．【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式 三．【本节难点】灵活应用求和公式解决相关问题 四． 【知识储备】 1、 Sn?n(a1?an)n(n?1)na1?d22＝ 2、 前n项和公式 Sn与n的关系:式变形: Sn?na1?ddn(n?1)d?n2?(a1?)n22 2 五．【自主学习】 阅读并完成课本例2——例4 探究下列问题： 1. ?an?是等差数列，Sn是其前n项和，参考课本46页B组2题，探究sk,s2k,s3k的关系 Sk,S2k?Sk,S3k?S2k （k?N?）仍成等差数列） （ 2. 完成例3，已知数列{an}的前n项的和为Sn，则Sn与Sn-1之间的递推关系式是 .由此可推得，数列{an}的通项公式an= . 3．等差数列{an}的前n项和与二次函数的关系是 .，如何从中读出公差，求最值. 六．[小试身手] 2??aS?n?9n，且5?aknnn 1 数列前项和 ?8，则正整数k? _____________ 2 设等差数列3. 等差数列 ?an?前n项和Sn，若S3?9,S6?36，则a7?a8?a9? ?an?前n项和为sn，若s16?0,s17?0，则当n=___________时，sn最大 s10?100,s100?10,求s110 sn?n2?1n2，求这个数列的通项公式. 七 [典型例析] 例1在等差数列{an}中， 例2已知数列 {an}的前n项和为 例3在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值． . 八、[当堂检测] 1. 数列{ an}是等差数列的一个充要条件是 （A）Sn=an2+bn+c （B）Sn=an2+bn （C）Sn=an2+bn+c(a?0) (D) Sn=an2+bn(a?0) 2、等差数列{an}中，d为公差.若前n项的和为Sn= -n2，则（ ） A.an=2n-1，d= -2 B. an=2n-1，d= 2 C. an= -2n+1，d= -2 D. an= -2n+1，d= 2 3.一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和 4.已知数列{an}的前n项和证明你的结论； 5．在等差数列{6．设等差数列{ Sn?12n?2n(n?N*)2，判断数列{an}是否为等差数列，并 an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和Sn的最小值 an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0， (1) 求公差d的取值范围； S(2) 指出S1, S2, 3, ……, S12中哪一个最大，说明理由 九．总结收获： 检测答案; 1.D 2.C 3. 5. 当n＝8或n＝9时， S110＝－110. 4.是，S8＝S9＝－108最小. an?n?52 246.（1）－7 （2）∴ S13＝13a7<0, ∴ a7<0, 由S12＝6(a6＋a7)>0, ∴ a6＋a7>0, a6>0, S6最大. 2. 4等比数列教案（一） 授课类型：新授 教学目标 知识与技能目标 1.等比数列的定义； 2.等比数列的通项公式． 过程与能力目标 1.明确等比数列的定义； 2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道 an，a1，q，n中的三个，求另一个的问题． 教学重点 1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用． 教学难点 等差数列＂等比＂的理解、把握和应用． 教学过程 一、情境导入： 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面） 1111，2，4，8，16，…，263; ① 1，2，4，8，…； ② 20,202,2031， ，…； ③ 1.0198,1.10982,1.10983...... ④ anan11?n?1n?1aaa2（n≥2）a对于数列①，n=2 ; n?1 =2（n≥2）．对于数列②， n=2；n?1． ann?1aa对于数列③，n=20 ; n?1=20（n≥2）． 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数． 二、检查预习 1．等比数列的定义． 2. 等比数列的通项公式: an?a1?qn?1(a1,q?0)， an?am?qn?m(am,q?0)， an?ABn(A,B?0) an?1?q (n?N?,q?0)a3．｛an｝成等比数列?n 4．求下面等比数列的第4项与第5项： 2132,.,??;(4)2,1,2，……. （1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）328三、合作探究 （1）等比数列中有为0的项吗？ （2）公比为1的数列是什么数列？ （3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？ （4）常数列都是等比数列吗？ 四交流展示 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 ana数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：n?1=q （q≠0） an?1?a成等比数列?an=q 注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛n｝（n?N， q≠0．） (2) 隐含：任一项 an?0且q?0 (3) q=1时，{an}为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． n?1a?a?q(a1,q均不为0) n12.等比数列的通项公式1: 观察法：由等比数列的定义，有：a2?a1q； a3?a2q?(a1q)q?a1q2； a4?a3q?(a1q2)q?a1q3；… … … … … … … an?an?1q?a1?qn?1(a1，q?0)． a3a2ana4?q?q?q?qaaaa 迭乘法：由等比数列的定义，有：1；2；3；…；n?1 a2a3a4a???n?qn?1n?1a?a?q(a1，q?0) aaaan1123n?1 所以，即 n?ma?a?q(am，q?0) m等比数列的通项公式2: n五精讲精练 例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. a2a2161833?a2?3?12??8,a1?2?8??.??q?q3q33 2 解：122?点评：考察等比数列项和通项公式的理解 变式训练一：教材第52页第1 例2．求下列各等比数列的通项公式： (1) a1??2,a3??8; (2) a1?5,且2an?1??3an 解 ： 2a?aq?q?4?q??231(1)?an?(?2)2n?1??2n或an?(?2)(?2)n?1?(?2)n q? (2) an?13??an23又：a1?5?an?5?(?)n?12 点评：求通项时，求首项和公比 变式训练二 ：教材第52页第2 例3．教材P50面的例1。 例4． 已知无穷数列10,10,10,??10 求证：（1）这个数列成等比数列； 051525n?15,??， 1 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的10； （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中． an10??105n?2an?1105证：（1）（常数）∴该数列成等比数列． n?151an101?n?4?10?1?1a?an?5an?510n51010 （2），即：． n?15 （3） apaq?1010p?15q?15?10p?q?25，∵p,q?N，∴p?q?2． ∴p?q?1?1且?p?q?1??N， 10∴ p?q?25?1?n5???10???，（第p?q?1项）． 变式训练三：教材第53页第3、4题． 六、课堂小结： 1.等比数列的定义； 2.等比数列的通项公式及变形式 七、板书设计 八、课后作业 阅读教材第48～50页； 2.4等比数列教案（二） 授课类型：新授 教学目标 知识与技能目标 进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式； 过程与能力目标 利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质 方法与价值观 培养学生应用意识． 教学重点，难点 （1）等比数列定义及通项公式的应用； （2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题． 教学过程 二．问题情境 22{a}a?aaa?a3a7是否成立？ n51951．情境：在等比数列中，（1）是否成立？2a?an?2an?2(n?2)是否成立？ n（2） 2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？ 三．学生活动 48284222a?aqa?aqaa?aq?(aq)?aa?a1a9成立． 5191191155对于（1）∵，，∴，2a?a3a7成立． 5同理 ： n?1n?3n?1a?aqa?aqa?aq111对于（2）n，n?2，n?2， n?3n?122n?2n?1222aa?aq?aq?aq?(aq)?aa?an?2an?2(n?2)成立． n?2n?21111nn∴， 一般地：若 m?n?p?q(m,n,q,p?N?)，则am?an?ap?aq． 四．建构数学 1．若 {an}为等比数列，m?n?p?q(m,n,q,p?N?)，则am?an?ap?aq． p?1m?1n?1a?a1qa?aq , a?aqm1n1由等比数列通项公式得：，p ,aq?a1?qq?1， 2m?n?2ap?aq?a1qp?q?2a?a?aqmn1故且， 2 ∵ m?n?p?q，∴am?an?ap?aq． am?qm?n{a}a2．若n为等比数列，则n． am?qm?na由等比数列的通项公式知：，则n ． 五．数学运用 1．例题： 2{a}a?an?1?an?1（n?2）？ nn例1．（1）在等比数列中，是否有 2{a}a?an?1?an?1， n?2nnn （2）在数列中，对于任意的正整数（），都有 那么数列 {an}一定是等比数列． an?1a?n{a}aan?1， 解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列n是等比数列，∴n2a?an?1?an?1（n?2）成立． 即n（2）不一定．例如对于数列0,0,0,例2． 已知 2a?an?1?an?1，但这个数列不是等比数列． n，总有 {an}为GP，且a5?8,a7?2，该数列的各项都为正数，求{an}的通项公式。 a71?q7?5q2?2?1q?a84，又数列的各项都是正数，故2，解：设该数列的公比为q，由5得 11an?8?()n?5?()n?822则 ． 例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。 a,a,aqq解：由题意可以设这三个数分别为，得： ?a?q?a?aq?27a?3????2a??a2?a2q2?91?a2(1?1?q2)?912?q2??q?? 4229q?82q?9?0q∴，即得?9或 q2?19， ∴q??3或 q??13， 故该三数为：1，3，9或?1，3，?9或9，3，1或?9，3，?1． a,a,aqq说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为． 例4． 如图是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第n个图形的边长和周 长． 解：设第n个图形的边长为 an，周长为cn． 1{a}由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的3，∴数列n是1等比数列，首项为1，公比为3． 1an?()n?13． ∴ 要计算第n个图形的周长，只要计算第n个图形的边数． 第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的4倍， ∴第n个图形的边数为3?4n?1． 14cn?()n?1?(3?4n?1)?3?()n?133． 2．练习： 1．已知则 {an}是等比数列且an?0，a5a6?9， ?log3a10? ． log3a1?log3a2?2．已知 {an}是等比数列，a4?a7??512，a3?a8?124，且公比为整数，则 a10? ． 3．已知在等比数列中， a3??4，a6?54，则a9? ． 五．回顾小结： 1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）． 六．课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题． 七板书设计 课内探究学案 （一 ）学习目标 1.明确等比数列的定义； 2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道 an，a1，q，n中的三个，求另一个的问题． 教学重点 1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用． 教学难点 等差数列＂等比＂的理解、把握和应用． （二）学习过程 1、自主学习、合作探究 nna?ABS?a?bqB?0nn1.等差数列的证明：①（）；②（q?0、q?1），a?b?0； an?12a?0a?an?an?2。 ann?1n③证明为常数（对于适用）；④证明 2.当引入公比q辅助解题或q作为参数时，注意考虑是否需要对q?1和q?1进行分类讨论。 3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。 4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是（m?n?2p）。 aman?apaqaman?ap2m?n?p?q（）和 aaa3aqqqa5. 三数成等比数列，一般可设为、、；四数成等比数列，一般可设为、q、aq、 aaaq3；五数成等比数列，一般可设为q2、q、a、aq、aq2。 2、精讲点拨 三、典型例题 例1 数列 ?an?为各项均为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的 a1和公比q。 项为54，它的前2n项和为6560，求首项解：若q?1，则应有 S2n?2Sn，与题意不符合，故q?1。依题意有： ?a1?1?qn???80??????????????????????(1)?1?q?2n?a1?1?q??6560???????????????????(2)??1?q (2)1?q2n?822nnq?82q?81?0 (1)得1?qn即 nnnq?81?q?81。 q?1得或（舍去）， nq?81知q?1，?数列?an?的前n项中an最大，得an?54。 由 nq?81代入（1）得a1?q?1 （3）将， n?1na?aq?54aq?54q，即81a1?54q （4）n11由得， ?a1?2?q?3联立（3）（4）解方程组得?。 例2 （1）已知 ?an?为等比数列，a3?2， a2?a4?203，求?an?的通项公式。 （2）记等比数列 ?an?的前n项和为Sn，已知a1?an?66，a4an?3?128，Sn?126，求 n和公比q的值。 a32020?aq?a2?a4?3an??qq?0q3， 3解：（1）设等比数列的公比为（），，则2201101?2q??q?q?3也即q3，解此关于q的一元方程得3或q?3。 即q?1??a?2???an?a3qn?3，n?3?（2）在等比数列 n?3?2?33?nn?3?a?2?3n或。 ?an?中，有a4an?3?a1an?128，又a1?an?66，联立解得 ?a1?2?a1?64??a?64a?2?n或?n， 由此知q?1，而 Sn?a1?anq?1261?q，从而解得 1?q???q?2?2??n?6。 ?n?6或?例 nnan???a??an?（?为常数）为等比数列，a?2?3n3 已知数列，其中，且数列n?1求常数?。 ?a??an?为等比数列，那么?an?1??an?解：n?1nn2??an?2??an?1??an??an?1?，将 1(2??)(3??)?2n?3n?0an?2?3代入并整理得6，解之得???2或???3。 例4 设数列。 ?an?、?bn?是公比不相等的两个等比数列，cn?an?bn，证明数列?cn?不是等比 解：设 ?an?、?bn?分别是公比为p、q（p?q）的两个等比数列，要证明?cn?不是等比 2c?c1c3即可。事实上 2数列，我们只需证 2222c22??a1p?b1q??a12p2?2a1b1pq?b12q2c1c3??a1?b1??a1p?b1q??a1p?2 b12q2?a1b1?p2?q2?列 ， p?q，?p2?q2?2pq，又a1、b1?0，?c22?c1c3，?数 ?cn?不是等比数列。 3、反思总结 4当堂检测 1.已知等比数列 ?an?中a2?1，则其前3项的和S3的取值范围是( ) ?1,??? A.???,?1? B.???,0?C.?3,??? D.???,?1??3,??? ?anan?1? 2.已知 ?an?是等比数列， a2?2，a5?14，则a1a2?a2a3??n?n161?4161?2???? A. B.3232?n1?41?2?n????C.3 D.3 3.若实数a、b、c成等比数列，则函数y?ax?bx?c与x轴的交点的个数为（ ） 2A.0 B.1 C.2 D.无法确定 4. 在数列 ?an?中，an?0，且?anan?1?是公比为q（q?0）的等比数列，该数列满足 anan?1?an?1an?2?an?2an?3（n?N*） ，则公比q的取值范围是（ ） 0?q?1?21?50?q?2 B.2 ?1?2?1?50?q?22 D.A. C. 0?q?5.设数列 ?xn?满足logaxn?1?logaxn?1（a?0，a?1，n?N*） ，且 x1?x2?????x100?100，则x101?x102?????x200?__________。 6.设 ?an?为公比q?1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x2?8x?3?0的两根，则 a2006?a2007?__________。 ?a?7.设n是由正数组成的等比数列，公比 a3a6a??9??a30__________。 30q?2，且a1a2a3???a30?2，则 22x?ax?1?0x8.设两个方程、?bx?1?0的四个根组成以2为公比的等比数列，则 ab?________。 9.设数列 {an}为等比数列，Tn?na1??n?1?a2?????2an?1?an，已知T1?1，T2?4。 {an}的首项和公比； （1）求等比数列（2）求数列 {Tn}的通项公式。 nan?ba?2??b?1?Sn?S10.设数列的前n项和为n，已知n ?a（1）证明：当b?2时， （2）求 n?n?2n?1?是等比数列； ?an?的通项公式。 {an}和{bn}满足：a1??， an?1?2an?n?4,bn?(?1)n(an?3n?21)3，其中 11.已知数列 ?为实数，n为正整数。 （1）对任意实数?，证明数列（2）试判断数列 {an}不是等比数列； {bn}是否为等比数列，并证明你的结论； Sn为数列{bn}的前n项和。是否存在实数?，使得对任意正整数n，都 （3）设0?a?b,有 a?Sn?b？若存在，求?的取值范围；若不存在，说明理由。 a21?a2?a2q??q?1qq，函 【当堂检测】 1.D 解析：设数列的公比为q，那么 S3?a1?a2?a3?f(q)?数 1?q?1???,?1?q（q?0）的值域为 ?3,???，从而求得S3的取值范围。 2.C 解析：等比数列 ?an?的公比 q?3a5311??a282，显然数列 ?anan?1?也是等比数列， 2aaaa2222?1?1a1a2???8q??nn?1?n?1?q2????q12an?1anan?1?2?4，其首项为，公比 ??1?n?8?1?????4??????321?4?n?anan?1???131?4。 2a1a2?a2a3??23.A 解析：a、b、c成等比数列，?b?ac，?二次函数y?ax?bx?c的判别式 ??b2?4ac??3b2?0，从而函数与x轴无交点。 2aa?aa?aaa?0， ?aa?aaq?aaqnn?1n?1n?2n?2n?3nn?1nn?1nn?14. ，，而n1?51?5?q??anan?1?0，?1?q?q2即q2?q?1?0，解得22，而q?0，故公比 0?q?1?52。 q的取值范围为 5.100a100 解析： logaxn?1?logaxn?1，即 logaxn?1xn?1?1?a?x?xnx，也即n，从而数列n是公比为a。 的等比数列。6.18 ?x101?x102?????x200??x1?x2?????x100??a100?100a1001313a?a?200420052q?14x?8x?3?02222，解析：的两根分别为和，，从而、 ?q?20a2005?3a2006?a2007??a2004?a2005??q2?2?32?18a2004。。 7.2 解析： a1a2a3???a30??a1a30??23055152?aa?2?4， 130， 5521051020??a3a6a9???a30??a3a30???a1a32???aaq?aa?q?4?2?2????130130??。 278.4 232xxxxxx?xx?xq?8x?1， 1234142311?解析：设该等比数列为、、、， ?x1?111x2??822，从而2、x3?2、x4?22， 1??1?27??ab??22?2?????422??2??。 9.解：（1）对于等式 Tn?na1??n?1?a2?????2an?1?an?q?，令n?1得 T1?a1?1；令n?2得 T2?2a1?a2?2?a2?4，?a2?2， a2?2a1。 2n?2n?1n?1T?n?2(n?1)?2(n?2)?????2?2?2a?2nn（2），则 ① ①?2得 ②?①得： 2Tn?2n?22(n?1)?23(n?2)?????2?2n?1?2n2?1?2n?1?2 ② Tn??2?22?23?????2n?1??2n?n?(?2n)?n?i?1n?n?2n?1?n?2。 nn?1ba?2?b?1Sba?2??b?1?Sn?1??a?2n10.解：（1）证明：由题意知1，且n，n?1 两式相减得 b?an?1?an??2n??b?1?an?1nna?ba?2n?1n，即 ① a?2an?2，于是 当b?2时，由①知n?1n?1an?1??n?1??2n?2an?2n??n?1??2n?2?an?n?2? n?1n?1a?n?2??是首项为1，公比为2的等比数列。 a?1?2?1?0n又1，所以 a?n?2（2）当b?2时，由（1）知n 当b?2时，由①得 n?1n?1?2n?1，即an??n?1?2； an?1?11b?2n?1?ban?2n??2n?1?ban??2n2?b2?b2?b 1???b?an??2n?2?b?? ?an?1?11??21?b?n?2n?1??b?an??2n????b2?b2?b??2?b n?1?2??an??1nn?1??2?2?2bbn?2??????2?b 2{a}a?a1a3，即 ?n211.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有 2444(??3)2??(??4)??2?4??9??2?4??9?03999，矛盾。 所以 {an}不是等比数列. bn?1???1?n?1（2）解： ??an?1?3?n?1??21?????1?n?1?2???an?2n?14??3? ?22n???1???an?3n?21???bn33。又b1??(??18)，所以 *b?0(n?N)，这时?bn?不是等比数列； ???18当时，nbn?12??(n?N*)b??(??18)?0由上可知bn?0，bn3当???18时，1。 ?2?b?故当???18时，数列n是以?(??18)为首项，3为公比的等比数列。 ?b?0，Sn?0，不满足题目要求。 （3）由（2）知，当???18时，n?2?bn?????18?????????18，故知?3???2?n?3Sn?????18???1?????5???3???要使 n?1，可得 ， a?Sn?b对任意正整数n成立，即 ??2?n?3a?????18???1??????b5??3????， a?2?1?????3?得 n??3???18??5b?2?1?????3? ① n?2?f(n)?1?????3?，则 令 当n为正奇数时， n1?f(n)?55?f(n)?13；当n为正偶数时，9。 55f(2)?3，最小值为9。 所以f(n)的最大值为 f(1)?a3b?????18????b?18????3a?1859535于是，由①式得。 当a?b?3a时，由?b?18??3a?18知，不存在实数?满足题目要求； 当b?3a时，存在实数?，使得对任意正整数n，都有 a?Sn?b，且?的取值范围是 (?b?18,?3a?18)。 等比数列学案 一、课前预习 （一）预习目标 1.理解等比数列的定义； 2.了解等比数列的通项公式 （二）自我探究 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面） 1111，2，4，8，16，…，263; ① 1，2，4，8，…； ② 20,202,2031， ，…； ③ 1.0198,1.10982,1.10983...... ④ anan11?n?1n?1aaa2（n≥2）a对于数列①，n=2 ; n?1 =2（n≥2）．对于数列②， n=2；n?1． ann?1aa对于数列③，n=20 ; n?1=20（n≥2）． 共同特点： an?1?aan?Nn?n (1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（， q≠0．） (2) 隐含：任一项 an?0且q?0 (3) q=1时，{an}为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． （四）提出疑惑 （五）预习内容 1、等比数列的定义 2、等比数列的通项公式 1. 如果一个数列 ?an?从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母q（q?0）表示。数学语言描述：对于数列那么 ?an?，如果满足an?qan?1（n?2、n?N*，q为常数，q?0） ， ?an?为等比数列。 2.当等比数列的公比q?1时。该等比数列为常数列。 n?1a?aqn13.等比数列的通项公式：，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论： n?ma?aqnm①；② q?n?manamn?m（m?n，此结论对于 anam有意义时适用）。 4. 等比数列的增减性：若等比数列 a1?0，当q?1时，等比数列?an?为递增数列；当0?q?1时， ?an?为递减数列；当q?0时，等比数列?an?的增减性无法确定（摆动数列） 。若 a1?0，当q?1时，等比数列?an?为递减数列；当0?q?1时，等比数列?an?为递增数 列；当q?0时，等比数列 ?an?的增减性无法确定（摆动数列） 。 5. 如果在数a和b中间插入一个数G，使得a、G、b三数成等比数列，那么我们就称数A为数a和b的等比中项，且G?ab。 6.等比数列的前n项和公式 设数列 2?an?是公比为q的等比数列，那么该数列的前n项和 ?na1,q?1?na1??Sn??a1?1?qn???a1?anq??1?q,q?1??1?q。 7.等比数列的主要性质： （1）在等比数列 ?an?中，若m?n?p?q，则aman?apaq； an?aman?ap2?m?n?2p（2）在等比数列中，若，则； （3）对于等比数列 ?an?，若数列?nk?是等差数列，则数列?an?也是等比数列； k?a??也是等比数列； an??a???nn、（4）若数列是等比数列，则对于任意实数?，数列 ?1???an?aa?0?（5）若数列是等比数列且n，则数列?n?也是等比数列； （6）若数列（7）若数列（8）若 ?an?是等比数列且an?0，则数列?logaan?为等差数列； ?an?和?bn?都是等比数列，则数列?anbn?也是等比数列； Sn是等比数列?an?的前n项和，则Sn、S2n?Sn、S3n?S2n、…成等比数列，其 nq公比为； 四、课堂同步训练 1.已知等比数列 ?an?中a2?1，则其前3项的和S3的取值范围是( ) A.???,?1? B.???,0?C.?3,??? D.???,?1??1,??? ?3,??? ?anan?1? 2.已知 ?an?是等比数列， a2?2，a5?14，则a1a2?a2a3??n?n161?4161?2???? A. B.3232?n1?41?2?n????C.3 D.3 2y?ax?bx?c与x轴的交点的个数为（ ） bac3.若实数、、成等比数列，则函数 A.0 B.1 C.2 D.无法确定 4. 在数列 ?an?中，an?0，且?anan?1?是公比为q（q?0）的等比数列，该数列满足 anan?1?an?1an?2?an?2an?3（n?N*）q，则公比的取值范围是（ ） 0?q?1?21?50?q?2 B.2 ?1?2?1?50?q?22 D.A.C.0?q?*xn?logx?logx?1?a?0a?1n?Nan?1an5.设数列满足（，，），且 x1?x2?????x100?100，则x101?x102?????x200?__________。 6.设 ?an?为公比q?1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x2?8x?3?0的两根，则 a2006?a2007?__________。 ?a?7.设n是由正数组成的等比数列，公比 a3a6a??9??a30__________。 30q?2，且a1a2a3???a30?2，则 8.设两个方程x?ax?1?0、x?bx?1?0的四个根组成以2为公比的等比数列，则 22ab?________。 9.设数列 {an}为等比数列，Tn?na1??n?1?a2?????2an?1?an，已知T1?1，T2?4。 {an}的首项和公比； （1）求等比数列（2）求数列 {Tn}的通项公式。 an?ban?2n??b?1?Sn?Snn10.设数列的前项和为，已知 ?a（1）证明：当b?2时， （2）求 n?n?2n?1?是等比数列； ?an?的通项公式。 {an}和{bn}满足：a1??， an?1?2an?n?4,bn?(?1)n(an?3n?21)3，其中 11.已知数列 ?为实数，n为正整数。 （1）对任意实数?，证明数列（2）试判断数列 {an}不是等比数列； {bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （3）设0?a?b,有 Sn为数列{bn}的前n项和。是否存在实数?，使得对任意正整数n，都 a?Sn?b？若存在，求?的取值范围；若不存在，说明理由。 a21?a2?a2q??q?1qq，函 【同步训练参考答案】 1.D 解析：设数列的公比为，那么 qS3?a1?a2?a3?f(q)?数 1?q?1???,?1?q（q?0）的值域为 ?3,???，从而求得S3的取值范围。 ，显然数列 2.C 解析：等比数列 ?an?的公比 q?3a5311??a282?anan?1?也是等比数列， 2a2222aaa?1?1a1a2???8q??nn?1?n?1?q2????q12an?1anan?1?2?4，其首项为，公比 ??1?n?8?1?????4??????321?4?n?anan?1???131?4。 a1a2?a2a3??22y?ax?bx?c的判别式b?b?acacA?3. 解析：、、成等比数列，，二次函数 ??b2?4ac??3b2?0，从而函数与x轴无交点。 2aa?aa?aaa?0， ?aa?aaq?aaqn?1n?2n?2n?3，nn?1nn?1nn?14. nn?1，而n1?51?5?q??anan?1?0，?1?q?q即q?q?1?0，解得22，而q?0，故公比 22q的取值范围为 5.100a1000?q?1?52。 解析： logaxn?1?logaxn?1，即 logaxn?1xn?1?1?a?x?xnx，也即n，从而数列n是公比为a。 的等比数列。6.18 ?x101?x102?????x200??x1?x2?????x100??a100?100a1001313a?a?2004200522、2，解析：4x?8x?3?0的两根分别为2和2，q?1，从而 ?q?7.2 20a2005?3a2006?a2007??a2004?a2005??q2?2?32?18a2004。。 解析： a1a2a3???a30??a1a30??23055152?aa?2?4， 130， 5521051020??a3a6a9???a30??a3a30???a1a32???aaq?aa?q?4?2?2????130130??。 278.4 232xxx?xx?xxxxq?8x?1， 1142323411解析：设该等比数列为、、、， ??x1?111x2??822，从而2、x3?2、x4?22， 1??1?27??ab??22?2?????422??2??。 9.解：（1）对于等式 Tn?na1??n?1?a2?????2an?1?an?q?，令n?1得 T1?a1?1；令n?2得 T2?2a1?a2?2?a2?4，?a2?2， a2?2a1。 2n?2n?1n?1T?n?2(n?1)?2(n?2)?????2?2?2a?2nn（2），则 ① 2Tn?①?2得 ②?①得： 2n?22(n?1)?23(n?2)?????2?2n?1?2n2?1?2n?1?2 ② Tn??2?22?23?????2n?1??2n?n?(?2n)?n?i?1n?n?2n?1?n?2。 ban?2n??b?1?Snban?1?2n?1??b?1?Sn?1a?2110.解：（1）证明：由题意知，且， 两式相减得 b?an?1?an??2n??b?1?an?1nna?ba?2n?1n，即 ① a?2an?2，于是 当b?2时，由①知n?1n?1an?1??n?1??2n?2an?2n??n?1??2n?2?an?n?2? n?1n?1a?n?2??是首项为1，公比为2的等比数列。 a?1?2?1?0又1，所以nn?1n?1n?1a?n?12??a?n?2?2（2）当b?2时，由（1）知n，即n； 当b?2时，由①得 an?1?11b?2n?1?ban?2n??2n?1?ban??2n2?b2?b2?b 1???b?an??2n?2?b?? ?an?1?11??21?b?n?2n?1??b?an??2n????b2?b2?b??2?b n?1?2??an??1nn?1??2?2?2bbn?2??????2?b 2?b?故当???18时，数列n是以?(??18)为首项，3为公比的等比数列。 ?b?0，Sn?0，不满足题目要求。 （3）由（2）知，当???18时，n?2?bn?????18?????????18，故知?3???2?n?3Sn?????18???1?????5???3???要使 n?1，可得 ， a?Sn?b对任意正整数n成立，即 ??2?n?3a?????18???1??????b5???3???， a?2?1?????3?得 n??3???18??5b?2?1?????3? ① n?2?f(n)?1?????3?，则 令 当n为正奇数时， n1?f(n)?55?f(n)?13；当n为正偶数时，9。 55f(2)?3，最小值为9。 所以f(n)的最大值为 f(1)?a3b?????18????b?18????3a?1859535于是，由①式得。 当a?b?3a时，由?b?18??3a?18知，不存在实数?满足题目要求； 当b?3a时，存在实数?，使得对任意正整数n，都有 a?Sn?b，且?的取值范围是 (?b?18,?3a?18)。 课题: §2.5.1等比数列的前n项和（1）教案 教材分析： 本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。再者本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。 情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 ●教学重点 等比数列的前n项和公式推导 ●教学难点 灵活应用公式解决有关问题 学情分析：针对学生学习等差数列前n项和时的情况，一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度，突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。 ●教学过程 一.课题导入 [创设情境] [提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” 二.讲授新课 [分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。 等比数列的前n项和公式： a?anqa1(1?qn)Sn?1Sn?1?q ② 1?q ① 或 当q?1时， 当q=1时， Sn?na1 当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, 公式的推导方法一： 一般地，设等比数列 an时，用公式②. a1,a2?a3,?an?它的前n项和是 Sn?a1?a2?a3??an ?Sn?a1?a2?a3??an?an?a1qn?1?由 2n?2n?1??Sn?a1?a1q?a1q??a1q?a1q??qSn?a1q?a1q2?a1q3??a1qn?1?a1qn?得 ?(1?q)Sn?a1?a1qn a?anqa1(1?qn)Sn?1Sn?1?q ② 1?q ① 或论同上）∴当q?1时， 当q=1时， Sn?na1 公式的推导方法二： aa2a3????n?qaa2an?1有等比数列的定义，1 a2?a3???anS?a1?n?qa?a2???an?1Sn?an根据等比的性质，有1 Sn?a1?qS?a?(1?q)Sn?a1?anq（结 n即 n围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三： Sn?a1?a2?a3??an＝a1?q(a1?a2?a3??an?1) ＝ a1?qSn?1＝a1?q(Sn?an) ?(1?q)Sn?a1?anq（结论同上） [解决问题] 有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。 由 a1?1,q?2,n?64可得 a1(1?qn)1?(1?264)Sn?641?q=1?2=2?1。 264?1这个数很大，超过了1.84?10。国王不能实现他的诺言。 三 例题讲解 例1．求下列等比数列的各项的和： 1911111,,,,27,?9,3,24816（1）； （2） ,1.243 选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式． 314921.16243答案：（1）；（2） 131aa.例2．已知公比为2的等比数列的前5项和为8，求这个数列的1及5 选题目的：逆向应用公式． 1a5?.a?2，8 答案：111,,1,9例3．已知等比数列3选题目的：综合应用公式． 答案：使得 ，求使得 Sn大于100的最小的n的值. Sn大于100的最小的n的值为7. n{a}S?3?a．当常数a满足什么条件时，{an}才是等比数nn例4．设数列的前n项和为 列？ 选题目的：沟通答案：a??1 四． 反思总结，当堂检测。：课本66页练习 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。 五．课后小结 an与Sn的关系，灵活应用公式． 等比数列求和公式：当q=1时， Sn?na1 当q?1时， Sn?a1?anq1?q 或 a1(1?qn)Sn?1?q 六． 教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。 ●板书设计：略 2.5.1等比数列的前n项和（1）学案 课前预习学案 一．预习目标：了解等比数列的前n项和公式及公式证明思路 二 预习内容:等比数列前n项和公式的推导方法。. 三、 提出疑惑： 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一．学习目标: 1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路； 2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题．； 学习重、难点：1．等比数列的前n项和公式；等比数列的前n项和公式推导； 2．灵活应用公式解决有关问题。 二．学习过程：1.首先来回忆等比数列定义，通项公式以及性质． （ 2.探究：已知等比数列的首项a1，公比q，项数n(或n项an)，求它的前n项和Sn的计算公式． 一种推导思想:错位相减，Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋…＋a1qn-2＋a1qn-1． 在 等号两边乘以q，得 qSn=a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn． 将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项， ．a1qn． 得(1－q)Sn=a1－ a?anqa1(1?qn)Sn?1Sn?1?q ② 1?q ① 或∴当q?1时， 当q=1时， Sn?na1 还有没有其他都推导方法？ 三． 反思总结： 111四 当堂检测：（1）求等比数列2，4，8，…的前8项的和； （2）求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。 课后练习与提高： 选择题： 1. 在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( ) A 33 B 72 C 84 D 189 2． 等比数列 ?an?中, a2?9,a5?243,则?an?的前4项和为（ ） A. 81 B. 120 C. 168 D. 192 3．在公比为整数的等比数列和为（ ） ?an?中，如果a1?a4?18,a2?a3?12,那么该数列的前8项之 225A. 513 B. 512 C. 510 D. 8 二．填空题： 1. 已知：a1=2，S3=26．则q=---------- 2．已知三数成等比数列，若三数的积为125，三数的和为31，则三数为------ 三解答题： n?1a?(?a)(a?0)，求这个数列的前n项和。 n设数列 参考答案: 当堂检测 2.5.2等比数列的前n项和(2)教案 教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思 教学目标： 知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的 Sn,an,a1,n,q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度. ●教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 ●教学难点 灵活使用公式解决问题 学情分析：在学生学习完等比数列的前n项和公式的基础上，进一步加强前n项和的应用.在实际问题的应用中需要教师的指导。特别是分类讨论思想的进一步应用。 ●教学过程 一.课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式： a?anqa1(1?qn)Sn?1Sn?1?q ② 1?q ① 或当q?1时， 当q=1时， Sn?na1 当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式② 二.讲授新课 1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n， 22S?S2n?Sn(S2n?S3n) 求证：n2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和； （ 三．例题讲解 例1已知等比数列 ?an?中, S4??20,S8??1640,求S12. a1和q ？ 如何求？ 一定要求q吗？(基本量的确定) 设问1:能否根据条件求 设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列？ (探究等比数列内在的联系) 设问3:若题变: 数列 ?an?是等比数列,且Sn?a,S2n?b,(ab?0)求S3n S2n?Snb?ab?aa2?ab?b2nn?q?,S3n?S2n?(S2n?Sn)q?b?(b?a)?Snaaa nan?S?qn引导学生归纳:若是等比数列,公比为q,则每隔n项的和组成一个首项为,公比为的 等比数列.(学生类比等差数列相关结论) [说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量 a1,q然后再求和，其次分析题目的特点、内在 结构,探索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性. 例2．某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先 1支付货款的3，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息. 已知欠款的月利率为0.5% 到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？ 假设货主每月还商店 a元， 写出在第i(i=1,2, ?36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达 式. 每月的还款额为多少元（精确到0.01）？ 引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样， 月底还款后的欠款数 yi与第i-1个月底还款后的欠款数yi?1的关系是第 yi?yi?1(1?0.05%)?a,(学生分析) 三年内还清转化为数学语言是: y36?0 22?解(1)因为购买电脑时,货主欠商店3的货款,即60003=4000(元),又按月利率0.5%到第一个 月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元. (2)设第i个月底还款后的欠款数为yi,则有 y1=4000(1+0.5%)-a y2=y1(1+0.5%)-a =4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a 2 y3=y2(1+0.5%)-a y3=y2(1+0.5%)-a =4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a 32 ?? yi=yi?1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%) ii?1 -a(1+0.5%) 整理得 i?2- -a, (1?0.5%)i?1aii0.5% y =4000(1+0.5%)-.(i=1,2,?,36) (3)因为y36=0,所以 (1?0.5%)36?1a360.5% 4000(1+0.5%)-=0 即每月还款数 4000(1?0.5%)36?0.5%?121.6936(1?0.5%)?1 a=(元) 所以每月的款额为121.69元. [说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键词:”等额还款”,”月利率”,”第i个月末还款后欠款表达式”等; 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答. 1112nyyy例3.求Sn=(x+)+(x2+)+…+(xn+)(y?0)。 解：当x?1,y?1时， 11(1?)nnx(1?x)yx?xn?11?yny???nn?111111?x1?xy?y???1?yyn)=ySn=(x+x2+…+xn)+(y+2 1?ynnn?1y?y?当x=1,y1时 Sn=n+ x?xn?1?n当x?1,y=1时 Sn=1?x 当x=y=1时 Sn=2n 四 反思总结，当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测： 1.如果将例4的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额a将是多少? 1 2.一套住房的建筑面积为100平方米,房价为9000元/平方米.买房者若先付房价的3,其余 款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率是0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元) 数学建模的方法； 关注学生解题的规范性,准确度及速度. 五.课后小结 (引导学生归纳,教师提炼) (1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题; (2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等. 六．教学反思 ： 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。 板书：略 2.5.2等比数列的前n项和（2）学案 课前预习学案 一．预习目标：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力 二．预习内容：课本64——65的例2，例3 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 Sn,an,a1,n,q课内探究学案 学习目标：1.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 2.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度. 重点:进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 难点:灵活使用公式解决问题 学习过程：自主学习：首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式： 合作探究：1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n， 22S?Sn2n?Sn(S2n?S3n) 求证： 2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和； 反思： 当堂检测: 1．设{an}为等比数列，Sn=a1+…an,则在数列{Sn} 中 （ ） （A）任何一项均不为零 （B）必有一项为零 （C）至多有一项为零 （D）或有一项为零，或有无穷多项为零 2.数列{an}是正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，求它的前100项的和。 课后练习与提高： 选择题： 1. 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}． [ ] A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列 2.设等比数列的前n项和为 sn,若s10：s5=1：2，则s15:s5 = ( ) A. 3:4 B. 2:3 C. 1:2 D. 1:3 3.设数列{an}是公比为a，首项为的等比数列，是其前项和，对任意的自然数n，点 （ sn,sn?1）所在直线方程是 A. y=ax-b B. y=ax+b C. y=bx+a D.y=bx-a 二。填空题： 4 . 三个正数a,b,c成等比数列，且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为 5.. 设等比数列值为—— 三．解答题： {an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的 11已知数列{an}满足a1=1,a2=-2,从第二项起，{an}是以2为公比的等比数列，{an}的前n项 和为Sn，试问：S1,S2,S3…,Sn,…能否构成等比数列？为什么？ 参考答案： 当堂检测: 1.D ?a1(1?qn)?1?q?80?①?2n?a1(1?q)?6560?1?q② ②/①,得qn=81 ③∴q>1,故 2. S2n>Sn, ∴q?1 ?前n项中an最大。③代入①，得a1=q-1 2(1?3100)?3100?1又由an=a1qn-1=54,得81a1=54q ∴a1=2,q=3 ∴S100=1?3
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