第2讲 计数原理、概率
1．(2019·余姚中学模拟)浙江新高考方案正式实施，一名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史、技术七门功课中选取三门功课作为自己的选考科目，假设每门功课被选到的概率相等，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为( ) 1A. 73C. 20答案 A
12
解析 由题意可知总共情况为C37＝35，满足情况为C5C2＝5，所以该同学选到物理、地理两
1
B. 103D. 10
51
门功课的概率为P＝＝.
357
2．随机变量X的分布列如下表所示，
X P 则D(X)等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B
11
解析 由题意，＋a＋＝1，
441
∴a＝，
2
111
∴E(X)＝ 0×＋2×＋4×＝2，
424
111
∴D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(4－2)2×＝2，
424故选B.
3．将一颗质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是( ) 5
A. 362C. 3答案 A
1B. 41D. 5
0 1 42 a 4 1 4(2，4)，(3，3)，(4，2)，解析 基本事件总数为6×6＝36，点数之和是6的情况包括(1，5)，
(5，1)共5种情况，则所求概率是36.
4．在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数为Y，则( ) A．E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y) B．E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y) C．E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y) D．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y) 答案 C
435，?，Y～B?5，?， 解析 由题意得X～B??7??7?420
则E(X)＝5×＝，
77315
E(Y)＝5×＝，
77
4604
1－?＝， D(X)＝5××?7?7?493603
1－?＝， D(Y)＝5××?7?7?49
所以E(X)>E(Y)，D(X)＝D(Y)，故选C.
5．(2019·浙江)设0＜a＜1.随机变量X的分布列是
X P
则当a在(0,1)内增大时，( ) A．D(X)增大 B．D(X)减小 C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大 答案 D
?a＋1?2?1－2a?2?a－2?26a2－6a＋621
解析 由题意可知，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝3272727279
0 1 3a 1 31 1 35
??a－1?2＋3?，所以当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大． ??2?4?
1
x－?n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是( ) 6．若??x?A．－462
B．462
C．792 答案 D
D．－792
1
x－?n的展开式中只有第7项的二项式系数最大， 解析 ∵??x?∴n为偶数，展开式共有13项，则n＝12.
?x－1?12的展开式的通项公式为
?x?12
Tk＋1＝(－1)kCk12x
－2k
，令12－2k＝2，即k＝5.
∴展开式中含x2项的系数是(－1)5C512＝－792. 故选D.
7．(2018·浙江)设0 ξ P 则当p在(0,1)内增大时，( ) A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小 答案 D 1－p1p1解析 由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋， 2222 0 1－p 21 1 22 p 2?p＋1??2×1－p＋?1－?p＋1??2×1＋?2－?p＋1??2×p D(ξ)＝?0－??2????2??2??2??22 11－p?1?21?3?2p p＋?2×＝?＋?p－2?×＋?2－p?× ?2?22211111p p＋?2＋?p－?2－?p＋?2＋ ＝?2?2?2?2?2?2?p?3?2－p 2?2? 121?p??1?2?3?2?2p＋－p＋－p－＝?2?2??2??2?? 2? 1 ＝p2＋－p(2p－1) 4 111p－?2＋， ＝－p2＋p＋＝－??2?24 1?1，1?上单调递减，0，?上单调递增，∴D(ξ)在?在即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小． ?2??2? 故选D. 8．已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有( ) A．1 880种 C．720种 答案 B 解析 由题意知，白颜色汽车按3,2分两组，先从5辆白色汽车中选3辆全排列共A35种排法， 2再将剩余2辆白色汽车全排列共A22种排法，再将这两个整体全排列，共A2种排法，排完后3223有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共A33种排法，由分步乘法计数原理得共A5A2A2A3＝1 B．1 440种 D．256种 440(种)． 故选B. 9．条件p：将1,2,3,4四个数字随机填入下图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用，记方格A中的数字为x1，方格B中的数字为x2. A B 命题1：若p，则E(2x1)＝2E(x1)，且E(x1＋x2)＝E(x1)＋E(x2)； 命题2：若p，则D(2x1)＝4D(x1)，且D(x1＋x2)＝D(x1)＋D(x2)．则( ) A．命题1是真命题，命题2是假命题 B．命题1和命题2都是假命题 C．命题1是假命题，命题2是真命题 D．命题1和命题2都是真命题 答案 D 解析 由期望公式性质E(2x1)＝2E(x1)，D(2x1)＝4D(x1)，此两个结论正确， x1 P 1 1 43 1 82 1 44 3 163 1 45 1 44 1 46 3 167 1 88 1 16x1＋x2 P 2 1 165 根据公式可求得E(x1)＝E(x2)＝， 25 D(x1)＝D(x2)＝， 4 E(x1＋x2)＝5＝E(x1)＋E(x2)，
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