中考热点压轴(1) - 动点产生的相似问题

中考压轴——动点产生的相似三角形

例1 (2011年上海市)

直线y??x?1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A、C、D三点．

(1) 写出点A、B、C、D的坐标；

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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13图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q在直线BG上运动， 可以体验到， △ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．

思路点拨

1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．

4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．

满分解答

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

2

（2）因为抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以

?9a?3b?c?0,?a??1,? 解得??c?3,?b?2, ?a?b?c?0.?c?3.??所以抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4，顶点G的坐标为(1，4)．

（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．

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2

因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么BQ?x2?(3x)2??10x． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况： ①当

BQ?10x?3时，?3．解得x??3．所以Q1(3,10)，Q2(?3,?8)． BA101BQ111?10x1．解得

x??．所以Q3(,2)，Q4(?,0)． ?时，?3BA333310②当

图2 图3

考点伸展

第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是BQ?x2?(3x)2??10x．

我们换个思路解答第（3）题：

如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．

通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°． 在Rt△BGH中，sin?1?1，cos?1?3．

1010BQ?3时，BQ?310． BA在Rt△BQN中，QN?BQ?sin?1?3，BN?BQ?cos?1?9． ①当

当Q在B上方时，Q1(3,10)；当Q在B下方时，Q2(?3,?8)． ②当

BQ1111?时，BQ?10．同理得到Q3(,2)，Q4(?,0)． BA3333

例2 （2011年上海市模拟）

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数y?k(k?0)在第一象限内的x图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．

（1）求m与n的数量关系；

（2）当tan∠A＝

1时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式； 2（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP 相似存在两种情况．

思路点拨

1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．

3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．

满分解答

（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y? 整理，得n＝2m．

（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝

?4m?k,k的图像上，所以?

2n?k.x?1，2EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．

已知△BDE的面积为2，所以

11BD?EH?(m?1)?2?2．解得m＝1．因此D(4，1)，22k的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式xE(2，2)，B(4，3)．

因为点D（4，1）在反比例函数y?为y?4． x设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得?,?3?4k?b1 解得k?，b2?2?2k?.b?1．

因此直线AB的函数解析式为y?1x?1． 2

图2 图3 图4

（3）如图3，因为直线y?1，点D的坐标为（4，1），所x?1与y轴交于点F（0，1）

2以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况：

①如图3，当

255EAEF?时，．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）． ?2FPAOFP25FPEAFP?时，．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）． ?2AOEF5②如图4，当

考点伸展

本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个

条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为y??直线AB为y?12，x1x?7．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似． 2

图5