例5 （2009年临沂市）
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为
1y?a(x?1)(x?4)，代入点C的 坐标（0，－2），解得a??．所以抛物线的解析式为
2115y??(x?1)(x?4)??x2?x?2．
2221（2）设点P的坐标为(x,?(x?1)(x?4))．
21①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PM??(x?1)(x?4)，AM?4?x．
2如果
AMAO?PMCOAMAO?PMCO如果
1?(x?1)(x?4)?2，那么2?2．解得x?5不合题意．
4?x1?(x?1)(x?4)11?，那么2?．解得x?2． 24?x21(x?1)(x?4)，AM?x?4． 2此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，PM?1(x?1)(x?4)2解方程?2，得x?5．此时点P的坐标为(5,?2)．
x?41(x?1)(x?4)1解方程2?，得x?2不合题意．
x?421③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，PM?(x?1)(x?4)，AM?4?x．
21(x?1)(x?4)解方程2?2，得x??3．此时点P的坐标为(?3,?14)．
4?x1(x?1)(x?4)12解方程?，得x?0．此时点P与点O重合，不合题意．
4?x2综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或(?3,?14)或(5,?2)．
图2 图3 图4 （3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为y?设点D的横坐标为m(1?m?4)，那么点D的坐标为(m,?1x?2． 2125m?m?2)，点E的坐221125112标为(m,m?2)．所以DE?(?m?m?2)?(m?2)??m?2m．
2222211222因此S?DAC?(?m?2m)?4??m?4m??(m?2)?4．
22当m?2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5 图6
考点伸展
第（3）题也可以这样解：
如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m，n）(1?m?4)，那么
111(2n?2)?4?m(n?2)?n(4?m)??m?2n?4． 2221252由于n??m?m?2，所以S??m?4m．
22S?
例6 （2009年上海市）
如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝
3．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），10作DE//BC交射线CA于点E.．
(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；
(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．
图1 备用图 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．
双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．
思路点拨
1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．
2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．
3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．
4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．
满分解答
（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝以AH＝
AH3?，所AB1031＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5． 22因为DE//BC，所以
5ABAC，即5?3．于是得到y?x，（x?0）． ?3DBECyx（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以
DEAEMNAN，，即DE?|3?x|，??BCACBCAC53
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