专题一 平面向量的概念及运算
一、核心素养聚焦
考点一 逻辑推理-相等向量和平行（共线）向量
例题9.已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
→
(1)与BC相等的向量； →
(2)与OB长度相等的向量； →
(3)与DA共线的向量．
→→→→→→→→→→→
【答案】(1)AD. (2) BO，OC，CO，OA，AO，OD，DO. ；(3)AD，BC，CB. 【解析】：画出图形，如图所示．
(1)易知BC∥AD，BC＝AD， →→所以与BC相等的向量为AD.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC， →→→→→→→→
所以与OB长度相等的向量为BO，OC，CO，OA，AO，OD，DO. →→→→(3)与DA共线的向量为AD，BC，CB. 考点二 数学抽象-向量的表示
例题10在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
→→
①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；
→→
②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东； →→
③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.
【解析】①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相→
等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位→
置可以确定，画出向量OA如图所示．
→
②由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小→
方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．
→
③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方→
格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示． 考点三 数学运算-向量的加、减运算 例题11、化简下列各式：
→→→→(1)(AB＋MB)＋(－OB－MO)； →→→(2)AB－AD－DC.
→→→→→→→→→→→
【解】 (1)法一：原式＝AB＋MB＋BO＋OM＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＝AO＋OB＝AB. →→→→
法二：原式＝AB＋MB＋BO＋OM
→→→→→→→→＝AB＋(MB＋BO)＋OM＝AB＋MO＋OM＝AB＋0 →＝AB.
→→→
(2)法一：原式＝DB－DC＝CB.
→→→→→→
法二：原式＝AB－(AD＋DC)＝AB－AC＝CB.
考点四 数学建模-用向量解决实际问题
例题12.在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． →→
【解析】设AB，BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行→→800 km，则飞机飞行的路程指的是|AB|＋|BC|；
→→→
两次飞行的位移的和是AB＋BC＝AC.
→→
依题意，有|AB|＋|BC|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， →所以|AC|＝
→→2
|AB|＋|BC|2＝8002＋8002＝8002(km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为8002 km，方向为北偏东80°.
二、学业质量测评
一、选择题
1．若|a|=|b|，那么要使a=b，两向量还需要具备 ( ) A．方向相反 C．共线 【答案】B 【解析】
两向量相等需具备长度相等且方向相同两个条件，因此选B.
B．方向相同 D．方向任意
rrrruuuruuuruuurr2．若O是△ABC内一点，OA?OB?OC?0，则O是△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】B
uuuruuuruuurruuuruuuruuuruuuruuur【解析】由OA?OB?OC?0得OA?OB??OC，而OA?OB表示的是以OA,OB为邻
边的平行四边形对角线所在的向量，结合图形易得O是△ABC的重心．
uuuruuuruuuruuuruuuruuur3．AB+BC+CD+DE+EF+FA?( )
uuuruuurrA．0 B．0 C．2AD D．?2AD
【答案】B
uuuruuuruuuruuuruuuruuurr【解析】由向量加法的运算法则可知AB+BC+CD+DE+EF+FA?0.
uuuruuuruuuruuur4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中OA?a，OB?b，OC?c，则EF等于
（ ）
A．a?b B．b?a C．c?b D．b?c 【答案】D
uuuruuuruuuruuuruuur【解析】EF?OA?CB?OB?OC?b?c．
5．若O,A,B是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
uuuruuuruuuruuuruuuruuurA．AB?OA?OB B．AB?OB?OA uuuruuuruuuruuuruuuruuurC．AB??OB?OA D．AB??OB?OA
【答案】B
uuuruuuruuur【解析】由向量的减法知AB?OB?OA，故选B.
rr6．若非零向量a和b互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）
rrrrrrrrA．aPb B．a?b C．a?b D．a??b
【答案】C
【解析】由平行向量的定义可知A项正确；
rrrr因为a和b的方向相反，所以a?b，故B项正确；
由相反向量的定义可知a??b，故选项D正确；
rrrr由相反向量的定义知a?b，故C项错误.故选C。
7.（多选题）已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，则下列等式成立的是（ ）
uuuruuuruuuruuuruuuruuurA．FD?DA?FA B．FD?DE?EF?0 uuuruuuruuuruuuruuuruuurC．DE?DA?EC D．DA?DE?DF
【答案】ACD
uuuruuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuur【解析】由加法的三角形法则可得，FD?DA?FA，FD?DE?EF?0，DE?DA?EC，uuuruuuruuurDA?DE?DF，故选ACD．
8.（多选题）四式能化简为AD的是 （ ）
uuuruuuruuuruuuurA．MB?AD?BM
uuuruuuruuuruuuurB．AD?MB?BC?CM
????uuuruuuruuurC．AB?CD?BC
??uuuruuuruuurD．OC?OA?CD
【答案】BCD 【解析】
uuuvuuuvuuuvuuuuvuuuvuuuvuuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv(AD?MB)?(BC?CM)?AD?(BC?CM?MB)?AD，(AB?CD)?BC?AB?BC?CD?AD，
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuvuuuvuuuuvuuuvuuuvBCDA，故、、都能化简为，只有项OC?OA?CD?AC?CD?ADMB?AD?BM?2MB?AD，AD化简结果不是，故选BCD. 二、填空题
9．下列命题中正确的有________．(填序号)
① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
若a＝b，则a＝b； ② uuuruuur③ 若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形； uuuruuur ④ 在?ABCD中，一定有AB＝DC； ⑤ 若a＝b，b＝c，则a＝c；
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