（衡水金卷）2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题
二
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A???3,?2,?1,0,1,2,3?，集合A???1,0,1,3?，集合B???3,?2,?1,3?，则CU?A?B??（ ）
A．??3,?2,1? B．??2,?1,1? C．?2? D．??1,2,3?
2. 已知复数z满足z?1?i??i2018（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在象限为（ ） A.第一象限 3.函数f?x??B.第二象限 14?x2C.第三象限 D.第四象限
?ln?2x?1?的定义域为（ ）
?1??1??1??1?A．??,2? B．??,2? C．??,2? D．??,2?
?2??2??2??2?4.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）
A．3333?323? B． C． D．
22?2?2x2y25.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近线与直线4x?3y?1?0垂直，且焦点在圆
abx2??y?1??26上，则该双曲线的标准方程为（ ）
2x2y2x2y2x2y2x2y2A．??1 B．??1 C．??1 D．??1
91616934436.执行如图所示的程序框图，若输入的t?0.05，则输出的n为（ ）
1
A．3 B．4 C．5 D．6
7.已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?3,an?1?2Sn?3，则a5?（ ） A．33 B．34 C．35 D．36
????8.已知将函数f?x??sin?2?x?????0?的图象向左平移个单位长度得到函数g?x?的
6?3?图象，若函数g?x?图象的两条相邻的对称轴间的距离为（ ）
????????????A．??,0? B．?,0? C．??,0? D．?,0?
?6??6??12??12??，则函数g?x?的—个对称中心为29.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）
A．8?12? B．8?16? C．9?12? D．9?16?
2
?x?y?0,?10.已知实数x,y满足约束条件?x?y?2?0,当且仅当x?y?1时，目标函数z?kx?y取大
?x?3,?值，则实数k的取值范围是（ ）
A．???,1? B．???,?1? C．??1,??? D．?1,???
11.已知a?0，命题p:函数f?x??lgax2?2x?3的值域为R，命题q:函数g?x??x?区间?1,???内单调递增.若?p?q是真命题，则实数a的取值范围是（ ） 1???1??1?A．???,0? B．???,? C．?0,? D．?,1?
3???3??3???lnx,x?012.若函数f?x???与g?x??x?a?1的图像上存在关于y轴对称的点，则实数a????x,x?0??a在x的取值范围是（ ）
A．R B．???,?e? C．?e,??? D．?
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
uuuruuuruuuruuuruuur13.已知在?ABC中，D为BC边上的点，2BD?CD?0，若AD?mAB?nAC?m,n?R?，
则n? ．
x2y214.已知焦点在x轴上的椭圆??1的一个焦点在直线2x?y?2?0上，则椭圆的
2m2m?1离心率为 ．
15.在锐角?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若sinCcosA?sinB?1?cosC?，且
A??3,b?3，则c? ．
16.如图，在矩形ABCD中，AD?2，E为AB边上的点，项将?ADE沿DE翻折至?A?DE，使得点A?在平面EBCD上的投影在CD上，且直线A?D与平面EBCD所成角为30?，则线段
AE的长为 ．
3
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，a1?5,3a5?a9?S6. （1）求数列?an?的通项公式；
?1?（2）若数列?bn?满足bn?1?an?1an，且b1?a6，求数列??的前n项和Tn.
?bn?18.如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB?平面ABCD，点E是PD的中点，棱PA与平面BCE交于点F.
（1）求证:AD//EF；
（2）若?PAB是正三角形，求三棱锥P?BEF的体积.
19.某市统计局就某地居民的收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在?1000,1500?）.
（1）求居民收入在?3000,3500?的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；
（3）为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在?2500,3000?内应抽取多少人？
4
20.已知点F为抛物线C:y2?2px?p?0?的焦点，过F的直线l交抛物线于A,B两点. （1）若直线l的斜率为1，AB?8，求抛物线C的方程； （2）若抛物线C的准线与x轴交于点P??1,0?，S?APF:S?BPF21.已知函数f?x??lnx?x2?ax,a?R.
（1）当a?1时，求曲线f?x?在x?1处的切线方程；
（2）若x1,x2?x1?x2?是函数f?x?的导函数f??x?的两个零点，当a????,?3?时，求证：
uuuruuur?2?3:1，求PA?PB的值.
??f?x1??f?x2??3?ln2. 4请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
?x?2t?1在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为?（t为参数），以原点O为
y??4t?3????极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??22cos????.
?4?（1）求曲线C1的普通方程与C2的直角坐标方程； （2）判断曲线C1,C2是否相交，若相交，求出相交弦长. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??2x?1?x?2. （1）求不等式f?x??0的解集；
（2）若对任意的x??m,???，都有f?x??x?m成立，求实数m的取值范围.
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试卷答案
一、选择题
1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11、12：DC 二、填空题
13.1433 14. 23 15.3 16.3 三、解答题
17. 解：（1）设等差数列?an?的公差为d， 由a1?5,3a5?a9?S6, 得 3?5?4d???5?8d??6?5?6?52d， 解得d?2.
所以an?a1??n?1?d?5?2?n?1??2n?3?n?N*?. （2）由（1）得，b1?a6?2?6?3?15. 又因为bn?1?an?1an，
所以当n?2时，bn?anan?1??2n?3??2n?1? 当n?1时，b1?5?3?15，符合上式， 所以bn??2n?3??2n?1?. 所以
111?11?b??2n?3??2n?1??2??2n?1?2n?3??. n所以T1?11111n?2??3?5?5?7?L?2n?1?1?2n?3???1?11?n2??3?2n?3???3?2n?3?. 18. 解：（1）因为底面ABCD是边长为2的正方形， 所以BC//AD.
又因为BC?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BC//平面PAD.
又因为B,C,E,F四点共面，且平面BCEF?平面PAD?EF， 所以BC//EF.
6
又因为BC//AD，所以AD//EF. （2）因为AD//EF，点E是PD的中点， 所以点F为PA的中点，EF?12AD?1. 又因为平面PAB?平面ABCD，平面PAB?平面ABCD?AB,AD?AB， 所以AD?平面PAB，所以EF?平面PAB. 又因为?PAB是正三角形， 所以PA?PB?AB?2， 所以S1?PBF?2S3?PBA?2. 又EF?1，
所以V133P?BEF?VB?PEF?3?2?1?6. 故三棱锥P?BEF的体积为36. 19.解：（1）由题知，月收入在?3000,3500?的频率为0.0003?500?0.15.
（2）从左数第一组的频率为0.0002?500?0.1，第二组的频率为0.0004?500?0.2，第三组的频率为0.0005?500?0.25， ∴中位数在第三组， 设中位数为2000?x，
则x?0.0005?0.5?0.1?0.2，解得x?400， ∴中位数为2400.
由1250?0.1?1750?0.2?2250?0.25?2750?0.25?3250?0.15?3750?0.05?2400，得样本数据的平均数为2400.
（3）月收入在?2500,3000?的频数为0.25?10000?2500（人）， ∵抽取的样本容量为100， ∴抽取的比例为
100110000?100， ∴月收入在?2500,3000?内应抽取的人数为2500?1100?25（人）. 20.解：（1）由题意知，直线l的方程为y?x?p2. 7
?联立??y?x?p2,得x2?3px?p2?0. ??y2?2px,4设A,B两点的坐标分别为?xA,yA?,?xB,yB?， 则xA?xB?3p.
由抛物线的性质，可得AB?FA?FB?xpA?2?xpB?2?xA?xB?p?4p?8， 解得p?2，
所以抛物线C的方程为y2?4x.
（2）由题意，得F?1,0?，抛物线C:y2?4x， 设直线l的方程为x?my?1，A?x1,y1?,B?x2,y2?， 联立??x?my?1,y2?4x,得y2?4my?4?0?.
所以??y1?y2?4m,①
?y1y2??4,因为S?APF:S?BPF??2?3?:1， uuur所以AFuBFuur?2?3. 因为A,F,B三点共线，且uAFuur,uFBuur方向相同，
所以uAFuur??2?3?uFBuur，
所以?1?x1,?y1???2?3??x2?1,y2?， 所以y1??3?2?y2，
?3?1y代入①，得?2?4m,???
?2??3?2?y2??4.解得m2?12， 又因为P??1,0?，
8
所以uPAuur??xyuuur1?1,1?,PB??x2?1,y2?， 所以uPAuur?uPBuur??x1?1,y1???x2?1,y2?
?x1x2??x1?x2??1?y1y2
??my1?1??my2?1???my1?1?my2?1??1?4 ?m2y1y2?2m?y1?y2?
??4m2?8m2?4m2?2.
21.解：（1）当a??1时，f?x??lnx?x2?x，f??x??1x?2x?1，所以f?1??ln1?1?1?0，f??1??1?2?1?2. 所以曲线f?x?在x?1处的切线方程为y?2?x?1?， 即2x?y?2?0.
（2）由题得，f??x??12x?2x?a?x2?ax?1x?x?0?.
因为x1,x2是导函数f??x?的两个零点， 所以x1,x2是方程ax2?ax?1?0的两根， 故x1?x2??a2?0,x?11x22. 令g?x??2x2?ax?1， 因为a????,?3?，
所以g??1?a?3?2???2?0，g?1??3?a?0， 所以x??1?1??0,2??,x2??1,???，
且ax21??2x21?1,ax2??2x2?1， 所以f?x21??f?x2??lnx1x??x22?2x1?x2??ax1?ax2????x1?x2??ln1，2x2又因为x111x2?2，所以x1?2x，
2所以f?x??f?x1212??x21?4x2?ln?2x2?,x1??1,???，
2 9
令t?2x2??2,???，h?t??f?xt121??f?x2??2?2t?lnt. 2因为h??t??111?t?1?2?2t2?t?2t2?0， 所以h?t?在区间?2,???内单调递增， 所以h?t??h?2??34?ln2， 即f?x1??f?x2??34?ln2. 22.解：（1）由题知，将曲线C1的参数方程消去参数t， 可得曲线C1的普通方程为2x?y?1?0. 由??22cos????4?????，
得?2?2??cos???sin??.
将?2?x2?y2，?cos??x,?sin??y代入上式， 得x2?y2?2x?2y， 即?x?1?2??y?1?2?2.
故曲线C222的直角坐标方程为?x?1???y?1??2. （2）由（1）知，圆C2的圆心为?1,1?，半径R?2， 因为圆心到直线C2?1?151的距离d?22?12?25?2， 所以曲线C1,C2相交，
2所以相交弦长为2R2?d2?2?2?2???25???230. ?5???523.解：（1）当x??2时，不等式转化为??2x?1???x?2??0，解得x??2；当?2?x?12时，不等式转化为??2x?1???x?2??0，解得?2?x??13； 当x?12 时，不等式转化为?2x?1???x?2??0，解得x?3. 10
综上所述，不等式f?x??0的解集为?xx??13或x?3?.
????x?3,x??2,（2）由（1）得，f?x?????3x?1,?2?x?1,
?2???x?3,x?12,作出其函数图象如图所示：
令y?x?m，
若对任意的x??m,???，都有f?x??x?m成立，
即函数f?x?的图象在直线y?x?m的下方或在直线y?x?m上. 当m??2时，?m?3?0，无解； 当?2?m?12时，?3m?1?0，解得?113?m?2； 当m?112时，m?3?0，解得2?m?3. 综上可知，当?13?m?3时满足条件，
故实数m的取值范围是?1????3,3??.
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