利用导数解决函数的极值、最值
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一、选择题
x
1.函数y=ex在[0,2]上的最大值是( ) 1A.e C.0
2B.e2 D.
12e
1-x
A [易知y′=ex,x∈[0,2],令y′>0,得0≤x<1,令y′<0,得1<x≤2,xx
所以函数y=ex在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以y=ex在[0,2]1
上的最大值是y|x=1=e,故选A.]
π
2.已知函数f(x)=cos x+aln x在x=6处取得极值,则a=( ) 1
A.4 πC.12
πB.4 πD.-12
a?π?
C [∵f′(x)=x-sin x,且f′?6?=0,
??
a1π
∴π-2=0,即a=12,经验证,符合题意.故选C.] 6
2
3.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示,则x2 1+x2等于( )
8A.9
10B.9
1
16C.9 28D.9
C [函数f(x)的图象过原点,所以d=0.又f(-1)=0且f(2)=0,即-1+b-c=0且8+4b+2c=0,解得b=-1,c=-2,所以函数f(x)=x3-x2-2x,所以f′(x)=3x2-2x-2,由题意知x1,x2是函数的极值点,所以x1,2222
x2是f′(x)=0的两个根,所以x1+x2=3,x1x2=-3,所以x21+x2=(x1+x2)4416-2x1x2=9+3=9.]
4.(2019·东莞模拟)若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则( ) A.f(x)有极大值-1 C.f(x)有极大值0
B.f(x)有极小值-1 D.f(x)有极小值0
A [∵f(x)=ax+ln x,x>0, 1∴f′(x)=a+x, 由f′(1)=0得a=-1, 11-x
∴f′(x)=-1+x=x.
由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1, ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. ∴f(x)极大值=f(1)=-1,无极小值,故选A.]
5.已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为( )
A.[-3,+∞) C.(-∞,-3)
B.(-3,+∞) D.(-∞,-3]
D [由题意知f′(x)=3x2+6x-9,令f′(x)=0,解得x=1或x=-3,所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
2
x f′(x) f(x) (-∞,-3) + -3 0 极大值 (-3,1) - 1 0 极小值 (1,+∞) + 又f(-3)=28,f(1)=-4,f(2)=3,f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,所以k≤-3.]
二、填空题
6.设a∈R,若函数y=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是 .
(-∞,-1) [∵y=ex+ax,∴y′=ex+a. ∵函数y=ex+ax有大于零的极值点, 则方程y′=ex+a=0有大于零的解, ∵x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.]
7.已知函数f(x)=ln x-ax存在最大值0,则a= .
111 [f′(x)=-a,x>0.当a≤0时,f′(x)=exx-a>0恒成立,函数f(x)11
单调递增,不存在最大值;当a>0时,令f′(x)=x-a=0,解得x=a.当0<x11
<a时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>a时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
11?1?∴f(x)max=f?a?=ln -1=0,解得a=.]
ae??
8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为 .
27
3 [设圆柱的底面半径为R,母线长为l,则V=πR2l=27π,∴l=R2,要使用料最省,只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小.
3
27
由题意,S=πR2+2πRl=πR2+2π·R.
54π
∴S′=2πR-R2,令S′=0,得R=3,根据单调性得当R=3时,S最小.] 三、解答题
9.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). 1
(1)当a=2时,求f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
11
[解] (1)当a=2时,f(x)=ln x-2x,函数f(x)的定义域为(0,112-x
+∞),f′(x)=x-2=2x.
令f′(x)=0,得x=2,
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x) (0,2) + 2 0 极大值 (2,+∞) - 故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值. (2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(0,+∞), 1-ax1
f′(x)=x-a=x(x>0).
当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在定义域上无极值点;
1
当a>0时,令f′(x)=0,得x=a.
4
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