2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
?1?cosx,x?0?（1）若函数f(x)??在x?0处连续，则（ ） ax?b,x?0? (A)ab?11 (B)ab?? (C)ab?0 22(D)ab?2
（2）设函数f?x?可导，且f?x?f??x??0则（ ） (A)f?1??f??1? (C)f?1??f??1?
(B) f?1??f??1? (D)f?1??f??1?
（3）函数f?x,y,z??x2y?z2在点?1,2,0?处沿向量n?1,2,2?的方向导数为（ ） (A)12
(B)6
(C)4
(D)2
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线v?v1?t? （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线v?v2?t?，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位:s）,则（ ） (A)t0?10
v(m/s)(B)15?t0?20 (C)t0?25 (D)t0?25
1020051015202530t(s)
（5）设?为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ） (A) E???不可逆 (C) E?2??不可逆
TT(B) E???不可逆 (D)E?2??不可逆
TT?200??2???（6）已知矩阵A?021 B?0??????001???0
1200??100??C??020?，则（ ） 0?????1??002??1
(A) A与C相似，B与C相似 (B) A与C相似，B与C不相似
(C) A与C不相似，B与C相似 (D) A与C不相似，B与C不相似
（7）设A,B为随机事件，若0?P(A)?1,0?P(B)?1,则PAB?PAB的充分必要条件是（ ） A.PBA?PBA C. PBA?PBA
?????????BPBA?PBA D. PBA?PBA
???????????1n（8）设X1,X2......Xn(n?2)来自总体 N(?,1)的简单随机样本，记X??Xi 则下列结论中不正确的是：（ ）
ni?12 (A) ?(Xi??)服从?分布
22(B) 2(Xn?X1)服从?分布
2 (C)
?(Xi?1ni?X)2服从?2分布 (D) n(X??) 服从?分布
22二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9） 已知函数
f(x)?1(3)1?x2 ,则f(0)?__________
（10）微分方程y???2y??3y?0的通解为y?__________ （11）若曲线积分
xdx?dydy?Lx2?y2?1在区域D?n?1??x,y?x2?y2?1内与路径无关，则a?
?（12）幂级数
???1?n?1?nxn?1在区间（-1,1）内的和函数S(x)?
?101???（13）设矩阵A?112，?1,?2,?3为线性无关的3维列向量组，则向量组A?1,A?2,A?3的秩为 ????011??（14）设随机变量X的分布函数为F?x??0.5??x??0.5???x?4??，其中??x?为标准正态分布函数，则EX= 2??三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分）
dy设函数f?u,v?具有2阶连续偏导数，y?fe,cosx,求 dxx??d2y， 2dxx?0
x?0
2
（16）（本题满分10分） 求lim
（17）（本题满分10分）
已知函数y?x?由方程x?y?3x?3y?2?0确定，求y?x?得极值
33k?k?ln?1?? ?2n?kn?n?k?1n
（18）（本题满分10分）
lim设函数f(x)在?0,1?上具有2阶导数，f(1)?0,x?0?f(x)?0 x证（1） 方程f(x)?0在区间(0,1)至少存在一个根；
（2） 方程f(x)f??(x)?[f?(x)]?0 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.
2
（19）（本题满分10分） 设薄片型物体S是圆锥面 Z?x2?y2 被柱面Z2?2x 割下的有限部分，其上任一点弧度为
u(x,y,z?)92x?2。记圆锥与柱面的交线为C y?2z（1）求C在 xOy 平面上的投影曲线的方程 （2）求 S 的质量M
（20）（本题满分11分）
设三阶行列式A?(?1,?2,?3)有3个不同的特征值，且?3??1?2?2 （1）证明r(A)?2
（2）如果???1??2??3求方程组Ax??的通解
3
（21）（本题满分11分）
2设二次型f(x1,x2,x3)?2x12?x2?ax32?2x1x2?8x1x3?2x2x3，
22在正交变换x?Qy下的标准型为?1y1??2y2 求
a的值及一个正交矩阵Q.
（22）（本题满分11分）
设随机变量X，Y互独立，且的概率分布为P?X?0??P?X?2??(1)求P?Y?EY? (2)求Z?X?Y的概率密度
（23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量?是已知的，设n次测量结果x1,x2,?2y,0?y?11，Y概率密度为f?y??? 2?0,其他,xn相互独立，且均服从正态分布N?,?2，该工程师记录的是n次测量的绝对误差
??zi?xi??,?i?1,2,n?,，利用z1,z2,(I)求
(II)利用一阶矩求?的矩估计量
(III)求?的最大似然估计量
,zn估计?
z1的概率密度
4
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）若反常积分
???a1x?1?x?b0dx收敛，则（ ）
?A?a?1且b?1?B?a?1且b?1?C?a?1且a?b?1?D?a?1且a?b?1
??2?x?1?,x?1（2）已知函数f?x???，则f?x?的一个原函数是（ ）
lnx,x?1??2?x?1,x?1???AFx???????x?lnx?1?,x?1?2?x?1,x?1???BFx???????x?lnx?1??1,x?1?22??x?1,x?1x?1,x?1??????CFx?DFx???????????xlnx?1?1,x?1??????x?lnx?1??1,x?1
（3）若y?1?x?22??1?x,y??1?x222? ?1?x2是微分方程y??p?x?y?q?x?的两个解，则q?x??（ ）
?A?3x?1?x2??B??3x?1?x2??C?x1?x2?D??x1?x2
?x,x?0?（4）已知函数f?x???111,?x?,n?1,2,?n?nn?1 （A）x?0是f?x?的第一类间断点 （C）f?x?在x?0处连续但不可导
，则（ ）
（B）x?0是f?x?的第二类间断点 （D）f?x?在x?0处可导
（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） （A）A与B相似 （C）A?A与B?B相似
22TTTT
2（B）A与B相似 （D）A?A与B?B相似
?1?1?1?1（6）设二次型f?x1,x2,x3??x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，则f?x1,x2,x3??2在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）
（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲 （7）设随机变量X~N?,?（C）椭球面
（D）柱面
2?2????0?，记p?P?X?????，则（ ）
（B）p随着?的增加而增加 （D）p随着?的增加而减少
（A）p随着?的增加而增加 （C）p随着?的增加而减少
5
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