河北省保定市2016-2017学年高一下册数学期末考试试卷
一.选择题
1.已知等差数列{an}中，a1=1，d=2，则a10=（ ）
A. 19 B. 22 C. 23 D. 24 2.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1C1与平面DBB1D1所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3.若等比数列{an}的前n项和Sn=3n﹣1，则其公比为（ ）
A. ﹣3 B. 3 C. ﹣1 D. 1 4.已知直线l，m，平面α，β且l⊥α，m?β，给出下列四个命题中，正确命题的个数为（ ） ⑴若α∥β，则l⊥m ⑵若l⊥m，则α∥β ⑶若α⊥β，则l⊥m
⑷若l∥m，则α⊥β
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.在等差数列{an}中，若a1、a10是方程2x2+5x+1=0的两个根，则公差d（d＞0）为（ ） A.
B.
C.
D.
6.不等式组 的解集是（ ）
A. {x|﹣1＜x＜1} B. {x|1＜x≤3} C. {x|﹣1＜x≤0} D. {x|x≥3或x＜1} 7.若直线x+y=0与圆x2+（y﹣a）2=1相切，则a的值为（ ） A.1 B.±1 C.
D.±
8.若变量x，y满足 则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.已知等比数列{an}满足a1=3，且3a1 ， 2a2 ， a3成等差数列，则公比等于（ ） A. 1或3 B. 1或9 C. 3 D. 9
10.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．其中假命题的个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
11.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为3，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 2π B. π C. 21π D. 23π
12.定义：在数列{an}中，若an2﹣an﹣12=p，（n≥2，n∈N* ， p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的有关判断： ①若{an}是“等方差数列”，则数列{
n
②{（﹣2）}是“等方差数列”；
*
③若{an}是“等方差数列”，则数列{akn}（k∈N ， k为常数）也是“等方差数列”；
}是等差数列；
④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列． 其中正确命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二.填空题
13.已知直线l1：x+my﹣2=0，l2：mx+y+1=0，若l1⊥l2 ， 则m=________． 14.在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦之积为________．
15.一个几何体的三视如图所示，其中正视图和俯视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．
16.已知数列{an}满足a1=3，an﹣1anan+1=3（n≥2），Tn=a1a2…an ， 则log3T2017=________．
三.解答题
17.若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，求不等式cx2﹣bx﹣a＜0的解集． 18.已知△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，其对边分别为a，b，c，且b= （1）求内角C；
（2）若b=2，求△ABC的面积．
19.已知直线l经过点M（﹣3，﹣3），且圆x2+y2+4y﹣21=0的圆心到l的距离为 （1）求直线l被该圆所截得的弦长； （2）求直线l的方程．
20.设数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn+an=1，数列{bn}为等差数列，且b1+b2=b3=3． （1）求Sn；
（2）求数列（anbn）的前n项和Tn ．
21.为了培养学生的数学建模和应用能力，某校组织了一次实地测量活动，如图，假设待测量的树木AE的高度H（m），垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（D，C，E三点共线），试根据
． asinB．
上述测量方案，回答如下问题：
（1）若测得α=60°、β=30°，试求H的值；
（2）经过分析若干次测得的数据后，大家一致认为适当调整标杆到树木的距离d（单位：m），使α与β之差较大时，可以提高测量精确度．
若树木的实际高度为8m，试问d为多少时，α﹣β最大？ 22.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点．
（1）求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；
（2）当点P在DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论； （3）若P是D1D的中点，试判断PB与平面B1MN是否垂直？请说明理由．
河北省保定市2016-2017学年高一下册数学期末考试试卷答案
一.选择题
1.【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=1，d=2，∴a10=a1+9d=1+18=19．故答案为：A．
2.【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1C1⊥B1D1 ， A1C1⊥DD1 ， B1D1∩DD1=D1 ， 所以直线A1C1⊥平面DBB1D1所以直线A1C1与平面DBB1D1所成的角为：90°．故答案为：D．
3.【解答】解：等比数列{an}的前n项和Sn=3n﹣1，可得a1=2，S2=32﹣1=8，则a2=6． q=
=3．故答案为：B．
4.【解答】解：（1）若α∥β，由已知，得l⊥m，是正确的；（2）若l⊥m，由已知不能得出l⊥β，故不能得出α∥β，所以该命题是错误的；（3）若α⊥β，由已知l⊥α，得l，β平行，或l在β内，故不能得出l⊥m，所以该命题也是错误的；（4）若l∥m，由已知l⊥α，∴m⊥α，又m?β，∴α⊥β；是正确的． 故答案为：B．
5.【解答】解：在等差数列{an}中，
2
∵a1、a10是方程2x+5x+1=0的两个根，公差d（d＞0），∴a1＜a10 ，
2
解方程2x+5x+1=0，得
，a ．∴d= = = ．
故答案为：A．
6.【解答】解析：原不等式相当于不等式组
不等式①的解集为{x|﹣1＜x＜1}，不等式②的解集为{x|x＜0或x＞3}． 因此原不等式的解集为{x|x＜0或x＞3}∩{x|﹣1＜x＜1}={x|﹣1＜x≤0} 故答案为{x|﹣1＜x≤0}故答案为：C．
7.【解答】解：圆x2+（y﹣a）2=1的圆心坐标为（0，a），半径为1，
22
∵直线x+y=0与圆x+（y﹣a）=1相切，∴圆心（0，a）到直线的距离d=r，
即 =1，解得：a= ．故答案为：D．
8.【解答】解：作平面区域如下，
，
目标函数z=2x+y可化为y=﹣2x+z，结合图象可知，当过点A（1，1）时，有最小值， 即目标函数z=2x+y的最小值为2+1=3，故答案为：C．
9.【解答】解：等比数列{an}的公比设为q，a1=3，且3a1 ， 2a2 ， a3成等差数列，
22
可得4a2=3a1+a3 ， 即为4a1q=3a1+a1q ， 可得q﹣4q+3=0，
解得q=1或3，故答案为：A．
10.【解答】解：∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，M、N分别是BD和AE的中点， 取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；
连接AC，CE，根据三角形中位线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥面CDE及③MN∥CE正确，④MN、CE错误； ∴其中假命题的个数为：1故答案为：D
11.【解答】解：由题意，三棱柱的侧棱垂直于底面，即是直三棱柱外接球，球心在棱的长的中点上，底面是正三角形，∴正三角形的外接圆的r= ∴球心R=
=
．球心到圆心的距离为
2
，该球的表面积S=4πR=21π．故答案为：C．
12.【解答】解：根据题意，依次分析四个判断：①、若{an}是“等方差数列”，假设an= ，则 = ，
n22n2n12nn1
不是等差数列，则①错误；②：对数列{（﹣2）}有an﹣an﹣1=[（﹣2）]﹣[（﹣2）﹣]=4﹣4﹣不是常22222222
数，所以②错误③：对数列{akn}有akn﹣ak（n﹣1）=（akn﹣akn﹣1）+（akn﹣1﹣akn﹣2）+…+（akn﹣k+1﹣akn﹣k）
=kp，而k，p均为常数，所以数列{akn}也是“等方差数列”，所以③正确④：设数列{an}首项a1 ， 公差为d
22222
a3=a1+2d，3d2+2a1d=p，则有a2=a1+d，所以有（a1+d）﹣a1=p，且（a1+2d）﹣（a1+d）=p，所以得d+2a1d=p，
上两式相减得d=0，所以此数列为常数数列，所以④正确． 有2个正确；故答案为：B． 二.填空题
13.【解答】解：若m=0，则直线垂直，若m≠0，则﹣ 故m=0，故答案为：0．
14.【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10， 则圆心坐标为（1，3），半径为
，根据题意画出图象，如图所示：
MB= ，
，
?（﹣m）=1，直线不垂直，
由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2 ME= AC?BD═2
= =20
，所以BD=2BE=2 ．给答案为：20
．
=2
．
15.【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V= ×2×2×2= ，
由于边长为2的正方体V=8，所以用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体． 故答案为：3．
16.【解答】解：数列{an}满足a1=3，an﹣1anan+1=3（n≥2），可得连续三项的积为3，
672673
即有log3T2017=log3（a1?（a2a3a4…a2015a2016a2017））=log3（3?3）=log3（3）=673．故答案为：673．
三.解答题
17.解：根据题意，若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，
2
则﹣2，3是对应方程ax+bx+c=0的两个根，且a＜0，则有
，解可得b=﹣a，c=﹣6a，
22
则不等式cx+bx+a＞0等价为﹣6ax﹣ax+a＞0，又由a＜0， 2
则有6x+x﹣1＞0，即（2x+1）（3x﹣1）＞0，解可得x＞ 2
故不等式cx﹣bx﹣a＜0的解集为{x|x＞
或x＜﹣ ，
或x＜﹣ }．
18.（1）解：由题意，A，B，C依次成等差数列，根据三角内角和定理可得B=60°， ∵b=
asinB．由正弦定理：sinB=
sinAsinB得：sinA=
，∴A=45°．
故得C=180°﹣60°﹣45°=75°．
（2）解：∵b=2，B=60°，C=75°．正弦定理： ∴△ABC的面积S=
19.（1）解：圆x2+y2+4y﹣21=0，可知圆心为（0，﹣2），r=5． 圆心到l的距离为d=
，∴弦长L=
=2
=4
．
，
bcsinA=
可得：c=
．
．
（2）解：直线l经过点M（﹣3，﹣3），当k不存在时，可得直线方程为x=﹣3，此时截得的弦长为4 与题设不符．∴k存在，此时可得直线方程为y+3=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣3=0． 圆心到l的距离为
．即
，解得：k=
或k=2．
∴直线l的方程为2x﹣y+3=0或x+2y+9=0． 20.（1）解：数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn+an=1，① 当n=1时，有a1=S1 ， 可得2a1=1，即a1=
；当n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=1，②
，公比为
的等比数列，
①﹣②可得Sn﹣Sn﹣1+an﹣an﹣1=0，2an=an﹣1 ， 可得{an}为首项为 即有an=（
n
） ， n∈N*，数列{bn}为公差为d的等差数列，且b1+b2=b3=3，
可得2b1+d=b1+2d=3，解得b1=d=1，则bn=1+n﹣1=n，n∈N*； （2）解：anbn=n?（ 前n项和Tn=1?（ Tn=1?（
n
） ，
2
）+3?（
3
）+…+（n﹣1）?（
n﹣1
n
） ，
）+2?（ ）+n?（
2
）+2?（ 3
）+3?（ 4
）+…+（n﹣1）?（
2
）+（
n
）+n?（
n﹣1
n+1
） ，
n
n+1
上面两式相减可得，
Tn=（
n+1
）+（
3
）+…+（
）+（ ）﹣n?（
）
= ﹣n?（ ） ， 化简可得，Tn=2﹣（n+2）?（
n
） ．
21.（1）解：在Rt△ABE中可得AD= ，在Rt△ADE中可得AB= ，BD= ，
由AD﹣AB=DB，故得
因此，算出的树木的高度H是6m．
，得：H= = =6．
（2）解：由题设知d=AB，得tanα= ，tanβ= = = ，
tan（α﹣β）= = = =
= ，（当且仅当d= ）时，取等号）
故当H=8时，d=4 因为0＜β＜α＜
，tan（α﹣β）最大． ，则0＜α﹣β＜
，所以当d=4
时，α﹣β最大．
22.（1）证明：连接AC，则AC⊥BD，
又M，N分别是AB，BC的中点，∴MN∥AC，∴MN⊥BD．
∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴BB1⊥平面ABCD，∵MN?平面ABCD，∴BB1⊥MN， ∵BD∩BB1=B，∴MN⊥平面BB1D1D，
∵MN?平面B1MN，∴平面B1MN⊥平面BB1D1D． （2）当点P在DD1上移动时，都有MN∥平面A1C1P． 证明如下：
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=CC1 ， AA1∥CC1 ∴四边形AA1C1C是平行四边形，∴AC∥A1C1 由（1）知MN∥AC，∴MN∥A1C1
又∵MN?面A1C1P，A1C1?平面A1C1P，∴MN∥平面A1C1P； （3）证明：过点P作PE⊥AA1 ， 则PE∥DA，连接BE， ∵DA⊥平面ABB1A1 ， ∴PE⊥平面ABB1A1 ， 即PE⊥B1M， 又∵BE⊥B1M，∴B1M⊥平面PEB，∴PB⊥MB1 ，
由（1）中MN⊥平面DD1B1B，得PB⊥MN，所以PB⊥平面MNB1 ．
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