正定矩阵地性质和判定方法及应用

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?A0?所以，矩阵Q与单位矩阵E合同，故分块矩阵Q??是正定矩阵． ??0B?

五、 正定矩阵的应用

(一)

正定矩阵在不等式中的应用

实对称矩阵A是正定矩阵是由于其对应的实二次型XAXT（其中X??x1,x2,,xn?）

正定，而二次型正定是指对于任意X0恒有X0AX0T?0．因此可以利用此性质来证明不等式是否成立．

例10 证明不等式x12?4x22?2x32?2x1x2?2x1x3（其中x1,x2,x3是不全为零的实数）成立．

证明 令f?x1,x2,x3??x12?4x22?2x32?2x1x2?2x1x3，其系数矩阵为

?1-11??， A??-140???102???A的各阶顺序主子式为A11=1?0,A22?1-1-14则A为正定矩阵．因此对=3?0,A?2?0，

于任意一组不全为零的?x1,x2,x3?都有f?x1,x2,x3??0，故原不等式成立．

2（?Xi）例11 证明不等式n?X?成立．

2ii?1i?1nn2（?Xi）?XTAX，则二次型为 证明 令f?n?X?2ii?1i?1nnf??X1,X2,?n?1?1??1n?1,Xn?????1??1?1??X1???1??X??2?， ???????1??Xn?则

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?n?1?1??1n?1A?????1??1?1??1??． ???1?A的各阶顺序主子式A11?n?1?0,A22?n?1?1?1n?1?n2?2n?0,A?0，所以A是半

正定的，那么二次型是半正定的，即f?0．故原不等式成立．

(二) 正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 在实际问题中经常遇到求多元函数的极值问题，对此可应用二次型的正定性加以解决.

定义7[2] 设n元实函数f(X)?f(x1,x2,xn)在X?(x1,x2,,xn)T?Rn的某个邻域

??f(X)?f(X)内存在一阶、二阶连续偏导数．记?f(X)??,,?x?x12?f(X)在点X?(x1,x2,,xn)T处的梯度．

,?f(X)??,称?f(X)为函数?xn???2f(X)?定义8 H(X)????x?x???ij?n?n[2]

??2f(X)?2?x1????2??f(X)??x?x?n1?2f(X)?x1?x2?2f(X)?xn?x2?2f(X)???x1?xn??，此矩阵称为函??2f(X)?2??xn?数f(X)?f(x1,x2,xn)在点X?Rn处的(Hessian)黑塞矩阵．则H(X)是由f(X)的n2个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵．

0,定理9[2] (极值必要条件)设函数f(X)在点X0?(x10,x20T,xn)处可微，且X0为该

函数的极值点，则

1) X0必为f(X)的稳定点，即?f(X0)?0.

2) 若f(X)在X0的某领域U?X0?存在连续二阶偏导数，则当f?X0?为极小值时，

f(X)在X0的黑塞矩阵为正定或正半定；则当f?X0?为极大值时，f(X)在X0的黑塞矩

阵为负定或负半定．

定理10[2] (极值充分条件)设函数f(X)在点X0?Rn的某个邻域内存在一阶、二阶

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??f(X0)?f(X0)连续偏导数时，且?f(X0)??,,?x2??x1,?f(X0)???0．则： ?xn?(1)当H(X0)是正定矩阵时，f(X)在X0处取得极小值； (2)当H(X0)是负定矩阵时，f(X)在X0处取得极大值； (3)当H(X0)是不定矩阵时，f(X)在X0处不取极值．

例12 求多元函数f(x,y,z)?x2?2y2?2z2?2x?4y?4z的极值. 解 先求驻点，由

?fx?2x?2?0??fy?4y?4?0， 解得x??1,y??1,z?1． ?f?4z?4?0?z可得驻点为P0(?1,?1,1)．

4再求(Hessian)黑塞矩阵，因为fxx?2,fxy?0,fxz?0,fyy?4,fyz?0,fzz?，所以

?2H???0?0?0400?P(?1,?1,1)是0??，由正定矩阵的等价命题（5）可知H是正定的，所以04??f(x,y,z)的极小点，且f(x,y,z)在P0(?1,?1,1)点的极小值为f(?1,?1,1)??5．

222例13 求多元函数f?x???x1并根据?4x1x2?2x2?4x3?6x2x3?6x1x3的黑塞矩阵，

结果判断该函数的极值点．

解 先求驻点，由

?fx1??2x1?4x2?6x3?0??fx2?4x1?4x2?6x3?0，解得x1?0,x2?0,x3?0． ??fx3?8x3?6x2?6x1?0可得驻点为P0?0,0,0?．

6???24?，由于4?4?6由上述方程组可求得(Hessian)黑塞矩阵为H?????6?68???H11??2?0,H2?2文档大全

?244?4??8?0，所以黑塞矩阵为不定矩阵，故P0不是极值点．

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总结

本文深刻研究了正定矩阵的各类性质以及相关定理，并从这些性质和定理出发探讨了多种判定正定矩阵的方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．判定一个矩阵是否属于正定矩阵，根据已知条件及各种方法的适用范围选定上述一种方法．最后本文又利用正定矩阵的性质以及判定方法把正定矩阵应用于不等式、多元函数极值的相关问题中，继而减少各类问题的计算量，提高准确率．

参考文献：

[1] 王萼芳，石生明．《高等代数》（第三版）．北京：高等教育出版社． [2] 华东师范大学数学系．《数学分析》（第四版）．高等教育出版社． [3] 何亚丽．《线性代数》．科学出版社．

[4] 陈大新．《矩阵理论》．上海：上海交通大学出版社．

[5] 刘畅．正定矩阵性质的推广［J］．沈阳师范大学学报，2009,27(3),268~271． [6] 岳贵鑫．正定矩阵及其应用［J］．辽宁省交通高等专科学院学报，2008,10(5),31~33． [7] 黄云美．正定矩阵的性质及其应用［J］．烟台职业学院学报，2011,17(3):85~88． [8] 张丹，刘庆平．正定矩阵的性质及相关问题［J］．中南大学学报，2011,31（4）． [9] 倪凌炜．实正定矩阵的若干判定方法［J］．湖州师范学院学报，2010,26（2）．

后记

写完这篇论文之时，我深深地叹了口气，虽然写作过程艰苦，但是最终还是喜悦地，顺利地完成了毕业论文．在这个过程中我对正定矩阵有了更深入的了解，尤其是对于正定矩阵的应用．我更认识到毕业论文的结束并不意味着学习的终止，而是人生的又一起点．

首先诚挚的感谢我的导师高菲菲老师，她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修

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改我的论文．无论从选题、文章的整体结构还是语言规范上高老师都给了我悉心指导．从高老师的指导中我深深感受到了高老师的渊博的专业知识、严谨的治学态度以及诲人不倦的师德．还有教过我的所有老师们，你们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．

同时也要感谢我的同学，在大学四年里，无论从生活上还是学习上给了我很大的帮助和鼓励，让我不断进步．最后感谢我的父母，让我在他们的关怀中逐渐的成长，给了我无限的包容，我要以勤奋的工作和优秀的成绩回报他们．

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