(完整word版)数学分析复习题及答案

数学分析复习题及答案

一.单项选择题

1．已知f(x)?3x?e，则f?(0)=（ ） A. 1 2．设

B. 2 C. 3 D. 4

x2kx?3(1?)?e，则k?（ ） limxx??323 C. ? D. ? 232A. ?6 B.

3．xexdx?（ ）

?A. ex?C B. xex?ex?C C. x?ex?C D. 1?ex?C

4．下列函数在(??,?)内单调增加的是（ ） A. y?x

二、填空题 1．设函数z?e2．

2x?y B. y??x C. y?x D. y?sinx

3,则全微分dz?

sin3x?______________. lim2xx?0x?0x?0(k为常数)在x?0处连续，则a?_________ x?0?sinx?x?3．f(x)??k?ln(1?x)?x?三、判断题

1．若函数f在区间(a,b)上连续，则f在(a,b)上一致连续。（ ） 2．实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。（ ）

?3．设f为定义在U(x0)上的单调有界函数，则右极限lim?f(x)存在。（ ）

x?x0四、名词解释

1．用???的语言叙述函数极限的定义 2．用??N的语言叙述数列极限的定义

五、计算题

n?(?1)n?0 1．根据第四题第1小题证明limn??n2?42．根据第四题第2小题证明lim3．设x0?1，x1?1?2x?2x?13? 2x?15x0x,?,xn?1?1?n，求证limxn存在，并求其值。

n??1?x01?xn4．证明：f(x)?x在?a,b?上一致连续，但在???,???上不一致连续。

5．证明：若f?(x0)存在，则lim?x?0f(x0??x)?f(x0??x)?2f?(x0)

?x226．证明：若函数f(x)在x0连续，则f(x)与f(x)也在x0连续，问：若在f(x)或f(x)在I上连续，那么f(x)在I上是否必连续。 一、1.D 2.C 3. B 4.C

3二、1. 2e2x?ydx?e2x?ydy 2. 3. 1

2三、1.× 2.√ 3.√

四、

1. 函数极限定义：设函数f在点x0的某个空心邻域U?(x0;??)内有定义，A为定数。 ???0，???0，当0?x?x0??时，f(x)?A??，则limf(x)?A。

x?x02.数列极限定义：设为数列{an}，a为定数，???0，?N?0，当n?N时，有

an?a??，则称数列{an}收敛于a。

n?(?1)nn?1n?111?2????? (n?2) 五、1.证明：?2n?4n?4n?2n?2n?2n?(?1)?1???；得证。 ????0，?N????2，当n?N时，2n?4???nx?13(x?2)(3x?1)???(x?2)(3x?1) 2. 证明：?2x?155(x2?1)令(x?2)?1，则1?x?3，此时，3x?1?10，

x?13???????0，???min?1,?，当0?x?2??时，2???

x?15?10?3. 证明：⑴1?xn?1?2，xn?1?1?xn?2 1?xn ⑵xn?1?xn?xnxxn?xn?1?n?1? 1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1) 而x1?x0，由数学归纳法可知，xn单调增加。 综合⑴，⑵可知limxn存在，

n??设limxn?A，则由limxn?1?lim(1?n??n??n??xnA), A?1? 1?xn1?A解得A?

5?1（负数舍去） 24. 证明：先证f(x)?x2在?a,b?上一致连续。

???0，取???(a?b?1)，则当x?,x????a,b?且有x??x????时，有

f(x?)?f(x??)?(x??x??)(x??x??)??x??x????? ??2(a?b?1)?2(a?b)??

故f(x)?x2在?a,b?上一致连续。 但f(x)?x2在???,???上不一致连续。

1?0知，只要n充分大， n??n11总可以使x'?n?，x''?n 的距离x'?x''???，

nn11但f(x')?f(x'')?(n?)2?n2?2?()2?1??0

nn取?0?1，无论??0取得多小，由lim故f(x)?x2在???,???上不一致连续。

5.证明：若f?(x0)存在，则limf(x0??x)?f(x0??x)?2f?(x0)

?x?0?xf(x0??x)?f(x0)证明：由导数的定义， 有f?(x0)?lim ⑴

?x?0?xf(x0??x)?f(x0)而?x?0等价于??x?0，故f?(x0)?lim ⑵

??x?0??x(f(x0??x)?f(x0))?(f(x0??x)?f(x0))⑴和⑵相比，得2f?(x0)?lim

?x?0?xf(x0??x)?f(x0??x) ?lim

?x?0?xx?x06. 证明：因为f(x)在x0连续，所以limf(x)?f(x0)， 则 ???0，???0，当0?x?x0??时，f(x)?f(x0)??

则有 f(x)?f(x0)?f(x)?f(x0)??，所以limf(x)?f(x0)即f(x)在点

x?x0x0连续。

又因为 f2(x)?f2(x0)?f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)

且f(x)在x0连续，?M?0,N?0,??0.当x?x0??时，f(x0)?N,f(0)?M

???0，取?1?min{?,??}，则当x?x0??1时， 有

x?x0f2(x)?f2(x0)?f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)??(M?N) 因此

limf2(x)?f2(x0)

所以f2(x)在点x0连续。

若f(x)在I上某点x0的值f(x0)??f(x0)?0，则x0是f(x)的可去间断点，从而I上未必连续