四、应用题（每题7分，共计14分）
54. 过曲线y?x上一点M(1,1)作切线L，D是由曲线y?x，切线L及x轴所围成的平面图形，求 （1）平面图形D的面积;
（2）该平面图形D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积. 解：平面图形D如图所示：
因y??2x,所以切线L的斜率k?y?(1)?2, 切线L的方程为y?1?2(x?1),即y?2x?1
取x为积分变量，且x?[0,1]. （1）平面图形D的面积为
1 22y y?x2?x?y
o 1 1 21x
x32S??xdx??1(2x?1)dx?03211?(x?x)?021121. 12（2）平面图形D绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积为
x542Vx???xdx???1(2x?1)dx??0521110?4x3??2?????2x?x??3?130.
??2155.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积A最大,求腰长x和它对底边的倾斜角?.
解: 梯形截面的下底长为24?2x,上底长为
24?2x?2xcos?,高为xsin?,所以截面面积为
A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin?, 2?(0?x?12,0???)
222x ?
24?2x
即A?24xsin??2xsin??xsin?cos?,
??A?24sin??4xsin??2xsin?cos??0?x?8???x?令?得唯一驻点??.
?????A?24xcos??2x2cos??x2(cos2??sin2?)?03?????根据题意可知,截面的面积最大值一定存在,且在D:0?x?12,0???的最值点,因此可以断定x?8,??
?内取得,又函数在D内只有一个可能2?时,截面的面积最大. 3
得分 评卷五、证明题（6分）
?x??1?cos2xdx在区间(e,e3)内仅有一个实根. e0?x证明：构造函数 f(x)?lnx???1?cos2xdx,
e0?xx3即有f(x)?lnx??2?sinxdx?lnx??22,显然函数f(x)在区间[e,e]连续,且有
0ee56. 证明方程lnx?f(e)?22?0,f(e3)?3?e2?22?6?e2?0,由连续函数的零点定理知方程f(x)?0即
lnx??x??1?cos2xdx在区间(e,e3)有至少有一实数根. e0?11x3另一方面,f?(x)??在区间(e,e)内恒小于零,有方程f(x)?0,即lnx???1?cos2xdx在区间
xee0(e,e3)有至多有一实数根.
综上所述, 方程lnx??x??1?cos2xdx在区间(e,e3)内仅有一个实根. e0
20XX年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
《高等数学》试卷
题号 分数 一 二 三 四 五 六 总分 核分人
一、单项选择题（每小题2分，共计60分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.
1.已知函数f(2x?1)的定义域为[0,1] ，则f(x) 的定义域为 （ ） 得分 评卷人 12解：0?x?1??1?2x?1?1?B.
A.[,1] B. [?1,1]C. [0,1]D.[?1,2]
2.函数y?ln(x2?1?x)(???x???)是 （ ） A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 解：f(x)?f(?x)?ln(x2?1?x)?ln(x2?1?x)?ln1?0?A. 3. 当x?0时，x?sinx是x的 （ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小
2x2?sinx??1?C. 解： limx?0x2n?3sinn4.极限lim? （ ）
n??nA. ? B. 2 C. 3 D. 5
2n?3sinnsinn解：lim?lim[2?3]?2?B.
n??n??nn?e2ax?1,x?0?5.设函数f(x)??x，在x?0处连续，则 常数a? （ ）
?a?1,x?0?A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
e2ax?1?lim2ae2ax?2a?a?1?a?1?B. 解：limf(x)?limx?0x?0x?0xf(1?2x)?f(1?x)6. 设函数f(x)在点x?1处可导 ，则lim? （ ）
x?0x A. f?(1) B.2f?(1) C.3f?(1) D.-f?(1)
f(1?2x)?f(1?x)f(1?2x)?f(1)?f(1)?f(1?x)解：lim ?limx?0x?0xxf(1?2x)?f(1)f(1?x)?f(1)?2lim?lim?3f?(1)?C
x?0x?02x?x27. 若曲线y?x?1上点M处的切线与直线y?4x?1平行，则点M的坐标（ ）
A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2） 解： y??2x?2x0?4?x0?2,y0?5?A.
?x?tsinu2dudy??0? （ ） 8.设?，则
2dx??y?cost22A. t B. 2tC.-tD. ?2t
dy?2tsint2???2t?D. 解： dxsint2(n?2)?xlnx(n?2，为正整数),则y(n)? （ ） 9.设y1n(n?2)! A.(x?n)lnx B. C.(?1) D. 0 n?1xx1(n?2)?xlnx?y(n?1)?1?lnx?y(n)??B. 解：yxx2?2x?3 10.曲线y?2 （ ）
x?3x?2A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线 B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线 C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线， D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线
解：y?x2?2x?3x2?3x?2?(x?1)(x?3)(x?1)(x?2)?xlim???y?1,limx??1y??4,xlim??2y???A. 11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.
y?|x?1|,[0,2] B. y?1[0,2]
3(x?1)2,C.y?x2?3x?2,[1,2] D． y?xarcsinx,[0,1] 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等?C.
12. 函数y?e?x在区间(??,??)内 （ ）
A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线 C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线 解： y???e?x?0,y???e?x?0?C.
13.若
?f(x)dx?F(x)?C，则?e?xf(e?x)dx? （ ）
A.e?x?F(e?x)?C B. F(e?x)?C C.e?x?F(e?x)?C D. ?F(e?x)?C
解：?e?xf(e?x)dx???f(e?x)d(e?x)??F(e?x)?C?D.
14. 设f(x)为可导函数，且f?(2x?1)?ex ，则 f(x)? （ ）
1 A. 1(x?12e2x?1?C B.2e2)?C 1C. 1e2x?1?C D. 2e2(x?1)2?C 11解：f?(2x?1)?ex?f?(x)?e2(x?1)?f(x)?2e2(x?1)?C?B.
15.导数
dbdx?aarcsintdt? （ ） A.arcsinx B.0 C.arcsinb?arcsina D.11?x2
解：?baarcsinxdx是常数，所以 dbdx?aarcsinxdx?0?B .
16.下列广义积分收敛的是 （ ）
A.
???x1edxB. ???11xdxC. ???1??14?x2dxD. ?1cosxdx
解：???1??14?x2dx?1x1?14arctan2?(?arctan)?C.
1442 17.设区域D由x?a,x?b(b?a),,y?f(x),y?g(x)所围成，则区域D的面积为A.
?ba[f(x)?g(x)]dx B. ?ba[f(x)?g(x)]dx
C.
?bba[g(x)?f(x)]dx D.?a|f(x)?g(x)|dx
解：由定积分的几何意义可得D的面积为 ?ba|f(x)?g(x)|dx?D.
18. 若直线
x?11?y?3n?z?23与平面3x?4y?3z?1?0平行，则常数n? （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解： {1,n,3}?{3?4,3}?3?4n?9?0?n?3?B.
） （
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