2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

玉环实验学校杭州高中部 高一（上） 数学必修4．第二章

2.3.1 平面向量基本定理

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 ●引入课题

1.给定平面内任意两个向量e1、e2，作出向量3e1?2e2，e1?2e2.

2.将给定向量a分解为与e1、e2平行的两个向量.

问题1：比较分解后与e1、e2平行的两个向量是否唯一？

问题2：a是否可以用含有e1、e2的式子表示出来？

问题3：式子中e1、e2的系数?1、?2是否唯一？

●教材新知

1.平面向量基本定理

如果e1、e2是一平面内的两个________的向量，那么该平面内的______向量a，有且只有 ______实数?1、?2，使a?__________.

________的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______，记作?e1,e2?. 【说明】（1）定理中，e1、e2是两个______的向量；

（2）a是平面内的_____向量，且实数对?1、?2是______的； （3）平面内_____两个______的向量都可以作为一组基底. （4）a?__________叫做向量a关于基底?e1,e2?的分解式. 问题：平面内任意两个向量能作为一组基底吗？平面内向量的基底唯一吗？

2.已知两个非零向量a和b，作OA?a，OB?b，则?AOB?? ?0????180??叫做向量a与b的______，记作a,b??. 问题：如图，AB与BC的夹角为?ABC，对吗？

显然，当??0?时，a与b______； 当??180?时，a与b______；

当??90?时，a与b______，记作______.

3.如果基底的两个基向量e1，e2________，则称这个基底为正交基底. 把一个向量分解为两个________的向量，叫做正交分解，即在________ 下分解向量. 4.向量的坐标

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向______的两个________i、

j作为基底.这时，就在坐标平面内建立了一个________?i,j?，这个

基底也叫做直角坐标系xOy的基底.对于平面内的任一向量a，有且只有_____实数x、y，使 得a?xi?yj，则有序实数对______叫做向量a的坐标，记作________，这个式子叫做向量的 __________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.

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特别地，i??___，___?，j??___，___?，0??___，___?. 5.设OA?xi?yj，则向量OA的坐标______就是______的坐标； 反过来，______的坐标______也就是向量OA的坐标. 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一 __________唯一表示.

6.向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?________.

7.平面向量的表示方法有________、________、________. ●题组集训

（1）下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；② 一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不是基底中 的向量.其中正确的说法是（ ）

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ （2）向量a?6i，b??7i的夹角为（ ）

A.0? B.180? C.90? D.无法确定

（3）若i、j为正交基底，设a??x2?x?1?i??x2?x?1?j?x?R?，则向量a对应的点位于（ ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 （4）若向量a??x?2,3?与向量b??1,y?2?相等，则（ ）

A.x?1,y?3 B.x?3,y?1 C.x?1,y??5 D.x?5,y??1 （5）设e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a?e1??e2与向量b??e1?2e2共线的 条件是_____. ●课堂精讲

【例1】如图，在梯形ABCD中，AB‖DC，且AB?2DC， E、F分别是DC、AB的中点，设AD?a，AB?b，试 用a、b为基底表示向量BC、EF.

【变式训练】如图，P1、P2为直线l上两个定点，P为直 线l上一动点，O为直线l外任一点，试以OP1、OP2为基 底表示向量OP.

结论：A，B，C三点共线?OA?mOB?nOC，其中m，n为任意非零实数，且m?n?___.

1 特别地，当m?n?时，点A为线段BC的______.

2【例2】（1）a，b为非零向量，且a?b?a?b，求a与a?b的夹角?. （2）已知向量a，b的夹角为60?，试求下列向量的夹角：

2 ①?a，b； ②2a，b.

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【变式训练】（1）若非零向量a与b满足?a?b???a?b?，则a与b的大小关系为________. （2）已知a?1，b?2，且a?b与a垂直，求a与b的夹角.

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【例3】已知O是坐标原点，点A在第一象限，OA?43，?xOA?60?，求向量OA的坐标.

【变式训练】已知i，j是与x轴，y轴正方向相同的单位向量，AB??2i?3j，BC?5i?4j， 求向量AC的坐标.

●课后反馈

（1）设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①AD与AB；②DA与BC； ③CA与DC；④OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是 （ ）

A.①② B.①③ C.①④ D.③④

（2）若G是?ABC的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则GA?GB?GC?（ ） A.6GD B.?6GD C.?6GE D.0

（3）已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足?3x?4y?e1??2x?3y?e2?6e1?3e2，则x?y?（ ） A.3 B.?3 C.0 D.2

（4）设a、b是两个不共线向量，AB??1a?b，AC?a??2b??1,?2?R?，则能得出A、B、C三 点共线的是（ ）

A.?1??2??1 B.?1??2?1 C.?1?2??1 D.?1?2?1

（5）已知向量e1?0，e2?0，??R，a?e1??e2，b?2e1，若a与b共线，则下列关系中一定 成立的是（ ）

A.??0 B.e2?0 C.e1‖e2 D.e1‖e2或??0 （6）已知a?e1?2e2，b?3e1?2e2，则3a?b为（ ）

A.4e2 B.4e1 C.3e1?6e2 D.8e2 （7）如图，点P在?AOB的对角区域MON的阴影内，且满足 OP?xOA?yOB，则实数对?x,y?可以是（ ） ?11??11??21??32?A.?,?? B.?,? C.??,?? D.??,?

?33??23??42??45?（8）已知向量a、b满足a?b，且a与b的夹角为60?，则

a?b与a的夹角是______. a?b与b的夹角是______.

（9）已知a??2x?y?1,x?y?2?，b??2,?2?，当a?b时，x?_____，y?_____. （10）e1，e2是两个不共线的向量，且AB?2e1?ke2，CB?e1?3e2，CD?2e1?e2，若A、 B、D三点共线，则k的值为_____.

（11）如图，在?ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分 别交直线AB、AC于不同的两点 M、N，若AB?mAM， AC?nAN，则m?n的值为______.

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（12）如图，设P、Q分别是四边形ABCD的对角线AC、BD的 中点，BC?a，DA?b，试用基底a，b表示PQ.

（13）设e1、e2为两个不共线的向量，a??e1?3e2，b?4e1?2e2，c??3e1?12e2，试以b、 c为基底表示向量a.

（14）设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a?b和c共线，且b?c和a共线， 试问b与a?c是否共线？证明你的结论.

（15）如图所示，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120?，OA与OC 的夹角为30?，且OA?OB?1，OC?23，若OC??OA??OB??,??R?，求???的值.

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