2021年中考数学 专题24 圆
（知识点总结+例题讲解）
一、与圆有关概念：
1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(如上图中的AB)； 3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；
4.直径：经过圆心的弦叫做直径(如上图中的CD)；直径等于半径的2倍。 5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 6.弧、优弧、劣弧：
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“
”表示，
以A，B为端点的弧记作“AB”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ． （2）大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)； （3）小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)。
7.等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相 重合 的弧叫做等弧。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 9.垂径定理及其推论：
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 （2）推论1：
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （2）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 10.圆的对称性：
（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【例题1】(2020?青海)已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，则AB与CD之间的距离为 cm． 【答案】1或7
【解析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE=BE=4，CF=DF=3，则利用勾股定理可计算出OE=3，OF=4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当点O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE． 解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD，OE⊥AB， ∴OF⊥CD，
∴AE?BE?AB?4cm，CF?DF?CD?3cm， 在Rt△OAE中，OE?AO2?AE2?52?42?3cm， 在Rt△OCF中，OF?CO2?CF2?52?32?4cm， 当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OF+OE=4+3=7 cm； 当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF-OE=4-3=1 cm； 综上所述，AB与CD之间的距离为1 cm或7 cm．故答案为1或7。
【变式练习1】(2020?宁夏12/26)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺(1尺=10寸)．问这根圆形木材的直径是 寸．
【答案】26
【解析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得AD?BD?AB?尺=5寸，设半径OA=OE=r，则OD=r-1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2，解方程可得出
12121212木材半径，即可得出木材直径．
解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴AD?BD?AB?尺=5寸， 设半径OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r-1，
则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2， 解得：r=13，∴木材直径为26寸．故答案为：26。
1212二、与圆有关的角：
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心
距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心
距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （1）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；
（2）推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； （3）推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【例题2】(2020?福建)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为BD中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于( ) A．40° C．60° 【答案】A
【解析】连接OA、OB、OD、OC，求出AB?AD?CD，求出∠AOB=∠DOC=∠AOD，根据圆周角定理求出∠BOC，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出即可． 解：如下图，连接OA、OB、OD、OC， ∵∠BDC=60°， ∴∠BOC=2∠BDC=120°，
B．50° D．70°
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