(1)证明:AD⊥平面DBC;
(2)若在四面体D-ABC内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少?
参考答案
专题能力训练13 空间几何体
能力突破训练
1.C 解析由题意可知,该几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成,圆柱的侧面积为
S1=2π×2×4=16π,圆锥的侧面积为S2=2π×2=8π,圆柱的底面面积为
S3=π×22=4π,故该几何体的表面积为S=S1+S2+S3=28π,故选C.
2.A 解析V=3
+1,故选A.
3.A 解析由三视图可知该几何体是球截去后所得几何体,
则
R3=,解得R=2,
所以它的表面积为4πR+2
πR=14π+3π=17π.
2
4.B 解析如图,∵OA=5,AM=3,∴OM=4.
∵∠NMO=,∴ON=OM·sin=2
又∵OB=5,∴NB=
,故选B.
5.D 解析三棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然D1点为A1C1的中点,如图(1),正投影为Rt△A1B1C1,其面积S1=2×2=2.
三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为).显然B2,C2重合,如图(2),正投影为△A2B2D2,其面
A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,
积S2=2
三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为),由图(3)可知,正投影为△A3D3C3,其面积
A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,S3=2
综上,S2=S3,S3≠S1.故选D.
图(1)
图(2)
图(3)
6.B 解析由题意可知,直观图为四棱锥A-BCDE(如图所示),最长的棱为正方体的体对角线
AE==2故选B.
7
解析构造一个长方体,使得它的三条面对角线长分别为4,5,6,设长方体的三条边长分
别为x,y,z,则x+y+z=,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以S=4πR=2222
8.2+ 解析由三视图还原几何体如图所示,故该几何体的体积V=2×1×1+21×1=2+
2
9.4 解析(方法一:分割法)几何体有两对相对面互相平行,
如图,过点C作CH⊥DG于H,连接EH,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.
由题意,知V三棱柱DEH-ABC=S△DEH×AD
=2=2,
V三棱柱BEF-CHG=S△BEF×DE=2=2.
故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=2+2=4.
(方法二:补形法)因为几何体有两对相对面互相平行,
如图,将多面体补成棱长为2的正方体,显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半.
3
又正方体的体积V正方体ABHI-DEKG=2=8, 故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG=10.解(1)作出俯视图如图所示.
8=4.
(2)依题意,该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱锥体积
A1E==23=8,
1=,
正方体体积
故所求多面体的体积V=8-
11.解(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.
(2)作EM⊥AB,垂足为M,
则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH==6,AH=10,HB=6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱, 所以其体积的比值为
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12.D 解析由三视图可知,该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成,故
S=(2π×3)×3+π×32-(2)+4
2
=9(+1)π+8-8.故选D.
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