13 解析设球O的半径为r,则圆柱O1O2的高为2r,故,答案为
14.4 解析
如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知OD⊥BC,OG=BC.
设OG=x,则BC=2三棱锥的高h=因为S△ABC=x,DG=5-x,
2x×3x=3x2,
所以三棱锥的体积V=S△ABC·h=x2
令f(x)=25x-10x,x45
,则f'(x)=100x-50x.令f'(x)=0,可得x=2,
34
则f(x)在(0,2)单调递增,在所以f(x)max=f(2)=80. 所以V单调递减,
=4,所以三棱锥体积的最大值为4
15.64π 解析如图,三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,因为AB=1,AC=2,∠BAC=60°,
所以BC=,
所以∠ABC=90°.
所以△ABC截球O所得的圆O'的半径r=1.
设OO'=x,球O的半径为R,则R=x+1,R=(SA-x)+1, 所以x+1=解得x=,R=2
2
222222
+1, +12,R=4.
2
所以球O的表面积为4πR=64π. 16.
(1)证明设D在平面ABC内的射影为H,则H在AB上,连接DH,如图,
则DH⊥平面ABC,得DH⊥BC. 又AB⊥BC,AB∩DH=H,
所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC. 又AD⊥DC,DC∩BC=C, 所以AD⊥平面DBC.
(2)解当球的体积最大时,易知球与三棱锥D-ABC的各面相切,设球的半径为R,球心为O,
则VD-ABC=R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).由已知可得S△ABC=S△ADC=6. 过点D作DG⊥AC于点G,连接GH,如图,可知HG⊥AC. 易得DG=,HG=,DH=在△DAB和△BCD中,
因为AD=BC,AB=DC,DB=DB, 所以△DAB≌△BCD, 故S△DBC=,VD-ABC=6
,S△DAB=4
则,
于是(4+)R=,
所以R=
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