(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数6第6讲对数与对数函数教学案

第6讲 对数与对数函数

1．对数 概念 如果a＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数 底数的限制：a>0，且a≠1 对数式与指数式的互化： xax＝N?logaN＝x 性质 负数和零没有对数 1的对数是零：loga1＝0 底数的对数是1：logaa＝1 对数恒等式：alogaN＝N loga(M·N)＝logaM＋logaN 运算性质 loga＝logaM－logaN logaM＝nlogaM(n∈R) logcb公式：logab＝ logca换底公式 (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0) na>0，且a≠1， M>0， N>0 MNn1n推广：logamb＝logab；logab＝ mlogba2.对数函数的图象与性质 a>1 01时，y>0 当01时，y<0 当00 在(0，＋∞)上是增函数 3.对数函数的变化特征 在(0，＋∞)上是减函数 在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．

作出直线y＝1，分别与四个图象自左向右交于点A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)，得到底数的大小关系是：b＞a＞1＞d＞c＞0.根据直线x＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．

4．反函数

指数函数y＝a与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.( ) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．( )

(3)函数y＝log2x及y＝log13x都是对数函数．( )

3

(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) 1＋x(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )

1－xx?1?(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，?，－1?，

?a?

函数图象只经过第一、四象限．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]

1．(必修1P68练习T4改编)(log29)·(log34)＝________． lg 9lg 42lg 32lg 2

解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.

lg 2lg 3lg 2lg 3答案：4

2．(必修1P73探究改编)若函数y＝f(x)是函数y＝2的反函数，则f(2)＝________． 解析：由题意知f(x)＝log2x， 所以f(2)＝log22＝1.

x答案：1

3．(必修1P71表格改编)函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)

111

4．(必修1P82A组T6改编)已知a＝2－，b＝log2，c＝log1，则a，b，c的大小关

333

2系为________．

1

解析：因为01.所以c>a>b.

32答案：c>a>b [易错纠偏]

(1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．

1．已知a>0，a≠1，函数y＝a与y＝loga(－x)的图象可能是________．(填序号)

x

解析：函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有②. 答案：②

2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0

22

1

答案：2或 23．函数y＝

log2（2x－1）的定义域是________．

3

解析：由log2(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.

31

所以

2所以函数y＝

?1?log2（2x－1）的定义域是?，1?. ?2?

3

?1?答案：?，1? ?2?

对数式的化简与求值

(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log2

(2)若a＝log43，则2＋2＝________． 【解析】 (1)log2

1

11

＝log22－＝－；

222

a－a12

＝______，2log23＋log43＝________．

1

1

2log23＋log43＝2log23＋log23＝2log2(3·32)＝33.

21

(2)因为a＝log43＝log223＝log23＝log23，

2所以2＋2＝2log23＋2－log23 ＝3＋2log2

3 3

3 3

a－a＝3＋＝

43

. 3

143

【答案】 (1)－ 33 (2) 23

对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

1

1．计算：2log510＋log5＝________，2log43＝________．

4

11?21?解析：2log510＋log5＝log5?10×?＝2，因为log43＝log23＝log23，所以2log43＝

4?42?2log23＝3.

答案：2 3

2

2

2．2(lg2)＋lg 2·lg 5＋（lg 2）－lg 2＋1＝________． 解析：原式＝2(lg 2)＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2) ＝2(lg 2)＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1

对数函数的图象及应用

(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )

2

2

(2)函数y＝loga(x＋4)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋＝－1上，且m>0，n>0，则3m＋n的最小值为( )

A．13 C．11＋62

B．16 D．28

xymn【解析】 (1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.

(2)函数y＝loga(x＋4)－1(a>0，a≠1)的图象恒过A(－3，－1)，

xy－3－131

由点A在直线＋＝－1上可得，＋＝－1，即＋＝1，

mnmnmn?31??nm?故3m＋n＝(3m＋n)×?＋?＝10＋3?＋?，

?mn?

nmmn?mn?

因为m>0，n>0，所以＋≥2

nmnm×＝2(当且仅当＝，即m＝n时取等号)， mnmn?nm?故3m＋n＝10＋3?＋?≥10＋3×2＝16，故选B.

?mn?

【答案】 (1)C (2)B

利用对数函数的图象可求解的两类热点问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．