元二次方程配方法，公式法，因式分解法

一元二次方程的根

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根

因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．

例1：下面哪些数是方程2x?10x?12?0的根？

—4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4

分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 复习

根据公式完成下面的练习：

(1)x?8x?______??x?______? (2)9x?12x?______??3x?______?

22222(3)x?px?______??x?______? (4) x?6x?______??x?______?

2222(5)x?5x?______??x?______? (6) x?9x?______??x?______?

2222例2：解方程：x?6x?9?2 3x?5x?2

解：由已知，得：?x?3??2 解：方程两边同时除以3，得x232252?x? 33252?5??5? 直接开平方，得：x?3??2 配方，得x?x???????

33?6??6?22575?49? 即x?3?2，x?3??2 即 ?x???，x???，

666?36?x?57? 662，x2??3?2 所以，方程的两根x1?2 所以，方程的两根x1??3?57??2，66x2?571??? 663像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。

练一练：

(1)x?8x?9 (2)x?12x?15?0

2212x?x?4?0 422(4) 3x?8x?3?0 (5)2x?9x?8?0 (6) ?x?2?2?8x

(3)练一练 一、选择题

1．方程x?x?1??2的两根为（ ）．

A．x1?0,x2?1 B．x1?0,x2??1 C．x1?1,x2?2 D．x1??1,x2?2

2．方程ax?x?b???b?x??0的根是（ ）． A．x1?b,x2?a B．x1D．x1?a,x2?b

222?b,x2?11 C．x1?a,x2? aa3．已知x??1是方程ax?bx?c?0的根，则

ac??b?0?=（ ）． bb A．1 B．－1 C．0 D．2 4．若x?4x?p??x?q?，那么

22p、q的值分别是（ ）．

A．p?4,q?2 B．p?4,q??2 C．p??4,q?2 D．p??4,q??2 5．方程3x?9?0的根为（ ）．

A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根 6．用配方法解方程x222?2x?1?0正确的解法是（ ）． 321?81221?8?? A．?x???,x?? B．?x????，原方程无解

3?9333?9??2?5252?52?51?? C．?x???,x1?? D．?x???1,x1?,x2?? ,x2?3?93333?33??二、填空题

1．如果x?81?0，那么x?81?0的两个根分别是x1 =________，x2=__________． 2．已知方程5x?mx?6?0的一个根是x3．方程?x?1??222222?3，则m的值为________．

2x?x?1??0，那么方程的根x1=______；x2=________．

4．若8x?16?0，则x的值是_________．

5．如果方程2?x?3??72，那么，这个一元二次方程的两根是________．

226．如果a、b为实数，满足3a?4?b?12b?36?0，那么ab的值是_______． 三、综合提高题

如果关于x的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?中的二次项系数与常数项之和等于一次项系

22数，求证：?1必是该方程的一个根．

一元二次方程公式法

一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

2（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax?bx?c?0?a?0?，当b22?4ac?0?b?b2?4ac时，?将a、b、c代入式子x?就得到方程的根。（公式所出现的运算，恰好包括了

2a所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。） （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式。

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。 例1．用公式法解下列方程．

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。 解：a?2、b??1、c??1 练一练：用公式法解下列方程．

（1）?x?2??3x?5??0 （2）x?1.5??3x （3）x22?2x?1?0 （4）24x2?3x?2?0

一、选择题

1．用公式法解方程4x?12x?3，得到（ ）。

2A．x??3?63?6?3?233?23 B．x? C．x? D．x? 2222 2．方程

2x2?43x?62?0的根是（ ）。

2,x2?3 B．x1?6,x2?2 C．x1?22,x2?2

A．x1?D．x1?x2??6

3．m?n?22??m2?n2?2?8?0，则m2?n2的值是（ ）。

? A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．﹣4或2 二、填空题

1．一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的求根公式是___ ____，条件是___ 2_____．

2．当x?______时，代数式x?8x?12的值是﹣4．

3．若关于x的一元二次方程?m?1?x?x?m?2m?3?0有一根为0，则m的值是__ 222___． 三、拓展题

某数学兴趣小组对关于x的方程

若使方程为一元二次?m?1?xm?2??m?2?x?1?0提出了下列问题。

2方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．

根据求根公式判别一元二次方程根的情况

方程 b2?4ac的值 b2?4ac的符号 x1,x2的关系（填相等、不等或不存在） ?b?b2?4ac求根公式：x?。

2a（1）当b?4ac?0时，根据平方根的意义，

22b2?4ac等于一个具体数，所以一元二次方程

?b?b2?4ac?b?b2?4ac?x2?ax?bx?c?0?a?0?的x1?，即有两个不相等的实

2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac，x2?根，即x1?。

2a2a（2）当b?4ac?0时，根据平方根的意义

2b2?4ac?0，所以一元二次方程

ax2?bx?c?0?a?0?的x1?x2?2?b?b，即有两个相等的实根，即x1?x2?。 2a2a（3）当b?4ac?0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程

ax2?bx?c?0?a?0?没有实数解。

例1．不解方程，判定方程根的情况 （1）16x2?8x??3 （2）9x2?6x?1?0 （3）2x2?9x?8?0 （4）

2x2?7x?18?0

分析：不解方程，判定根的情况，只需用b?4ac的值大于0、小于0、等于0?的情况进行分析即可． 巩固练习

一、不解方程判定下列方程根的情况: （1）x?10x?26?0 （2）x22?x?3?0 （3）3x2?6x?5?0 （4）41?0 16122（5）x?3x??0 （6）4x?6x?0 （7）x?2x?4??5?8x （8）

44x2?x??x?2??3x?5??0

二、选择题

1．以下是方程3x?2x??1的解的情况，其中正确的有（ ）．

A．∵b?4ac??8，∴方程有解 B．∵b?4ac??8，∴方程无解 C．∵b?4ac?8，∴方程有解 D．∵b?4ac?8，∴方程无解 2．一元二次方程x?ax?1?0的两实数根相等，则a的值为（ ）．

A．a3．已知k222222?0 B．a?2或a??2 C．a?2 D．a?2或a?0 ?2 B．k?2 C．k?2且k?1 D．k为一切实数

2?1，一元二次方程?k?1?x2?kx?1?0有根，则k的取值范围是（ ）．

A．k三、填空题

1．已知方程x?px?q?0有两个相等的实数，则

2p与q的关系是___ _____．

2．不解方程，判定2x?3?4x的根的情况是_____ _（?填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）． 3．已知b?0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2??2a?b?x??a?ab?2b2??0的根的

情况是________． 四、综合提高题

1．不解方程，判别关于x的方程x?2kx??2k?1??0的根的情况．

22、若关于x的一元二次方程?a?2?x?2ax?a?1?0没有实数解，求ax?3?20的解集（用含a的

式子表示）．

一元二次方程因式分解法

解下列方程。

方程中没有常数项；左边都可以因式分解:可以写成：x?2x?1??0 两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是x?0或2x?1?0，所以

1x1?0,x2??

2因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

用因式分解法解方程

(1)10x?4.9x?0 (2)x?x?2??x?2?0 (3)

2?x?1?2??3?2x?2

思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）

1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．

A．?x?3??x?5??10?2，∴x?3?10,x?5?2，∴x1?13,x2?7 B．?2?5x???5x?2??0，∴?5x?2??5x?3??0，∴x12?23,x2? 55 C．?x?2??4x?0，∴x1?2,x2??2

2 D．x?x两边同除以x，得x?1 一、填空题

21．x?5x因式分解结果为___ ____；2x?x?3??5?x?3?因式分解的结果是_ 2_____．

2．方程?2x?1??2x?1的根是_____ ___．

23．二次三项式x?20x?96分解因式的结果为____ ____；如果令x?20x?96?0，那么它的两个根是_________． 二、综合提高题

1．用因式分解法解下列方程．

(1)3y?6y?0 (2)25y?16?0 (3)x?12x?28?0 (4)x?12x?35?0

2．已知?x?y??x?y?1??0，求x?222222y的值．

说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便。