2、2018-西城初三数学二模试题(1)

13EH?CE?sin60??aCH?CE?cos60??a2，2． 由（1）得∠DCG= 60?，5FH?CH?CF?a2． ∴

∵ 在Rt△EFH中，∠EHF= 90?，

3aEH32tan?EFC???5FH5a2∴ ． …………………………………… 5分

25．解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ．………………… 1分

②(2?1)a1．………………… 2分 2(2?1)a1．…………………3分 ③

n?1(2?1)a1．……………… 4分 ④

（2）所画正方形CHIJ见图7.

……………………………6分

26.解：如图8.

（1）x?2.…………………………… 1分

图7 2y?ax?4ax?a?1的对称轴为直线x?2，抛物线M与x轴的 （2）∵ 抛物线

交点为点A，B（点A在点B左侧），AB=2，

∴ A，B两点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0).……………………………… 2分 ∵ 点A在抛物线M上，

∴ 将A(1,0)的坐标代入抛物线的函数表达式，得a?4a?a?1?0. 解得 a??1. ………………………………………………………………… 3分 213y??x2?2x?22. ………………………… 4分 ∴ 抛物线M的函数表达式为k?54. …………………… 6分

（3）

九年级模拟测试 数学试卷 第13页 （共 16 页）

图8

27. 解：（1）当0°＜α＜30°时，

①画出的图形如图9所示．…………… 1分

∵ △ABC为等边三角形，

∴ ∠ABC=60°．

∵ CD为等边三角形的中线，

Q为线段CD上的点，

由等边三角形的对称性得QA=QB． ∵ ∠DAQ=α，

∴ ∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．

∵ 线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得， ∴ QE = QA．

∴ QB=QE．

可得 ?BQE?180??2?QBE图9

?180??2(60???)?60??2?．……… 2分

②CE?AC?3CQ．……………………………………………………… 3分 证法一：如图10，延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC

于点H．

∵ ∠BQE=60°+2α，点E在BC上， ∴ ∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．

∵ 点F在CA的延长线上，∠DAQ=α， ∴ ∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α． ∴ ∠QAF=∠QEC． 又∵ AF =CE，QA=QE， ∴ △QAF≌△QEC． ∴ QF=QC．

∵ QH⊥AC于点H， ∴ FH=CH，CF=2CH． ∵ 在等边三角形ABC中，CD为中线， 点Q在CD上，

1?ACB2∴ ∠ACQ==30°，

即△QCF为底角为30°的等腰三角形．

图10

∴

CH?CQ?cos?HCQ?CQ?cos30??3CQ2．

∴ CE?AC?AF?AC?CF?2CH?3CQ．

九年级模拟测试 数学试卷 第14页 （共 16 页）

即CE?AC?3CQ． ………………………………………… 6分

思路二：如图11，延长CB到点G，使得BG=CE，连接QG，可得

△QBG≌△QEC，△QCG为底角为30°的等腰三角形，与证法一

同理可得CE?AC?BG?BC?CG?3CQ．

11 图12 图

（2）如图12，当30°＜α＜60°时，AC?CE?3CQ．………………………… 7分 28.解：（1）①?3． ………………………………………………………………………… 1分

② 0≤

LQ≤3．……………………………………………………………… 2分

（2）设直线

y??3x+33与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得A(33,0)，

B(0,3)．

∴ OA?33，OB?3，?OAB?30?． 由0≤

LQ≤3，作直线y?3x．

①如图13，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心D1满足题意，其横坐标取到最大值．作D1E1?x轴于点E1，

D1E1AE1?DEAO． 可得11∥OB，BO∵ ⊙D的半径为1， ∴ D1E1?1．

∴ AE1?3，OE1?OA?AE1?23．

九年级模拟测试 数学试卷 第15页 （共 16 页）

图13

∴

xD1?23．

②如图14，当⊙D与直线y?3x相切时， 相应的圆心D2满足题意，其横坐标取到 最小值．

作D2E2?x轴于点E2，则D2E2⊥OA．

设直线y?3x与直线交点为F．

y??3x+33的

图14 可得?AOF?60?，OF⊥AB．

则

AF?OA?cos?OAF?33?39?22．

∵ ⊙D的半径为1， ∴ D2F?1．

∴

AD2?AF?D2F?72．

?7373??224，

∴ AE2?AD2?cos?OAFOE2?OA?AE2?534．

∴

xD2?534．

53由①②可得，xD的取值范围是4≤xD≤23． ………………………………………… 5分 （3）画图见图15．

图15

2．…………………………………………… 7分

九年级模拟测试 数学试卷 第16页 （共 16 页）