衡水万卷作业（十五）离散型随机变量及其分布列
考试时间：45分钟
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（本大题共6小题，前2题16分，后4题17分，共100分）
1.（2015陕西高考真题）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为?，?只与道路畅通状况有关，对其容量为100的
样本进行统计，结果如下：
?（分钟） 25 30 35 40
频数（次） 20 30 40 10 （I）求?的分布列与数学期望??； （II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从 离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 2.（2015福建高考真题）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银
行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
3.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如
下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。
4. 某校为了提高学生身体素质，决定组建学校足球队，学校为了解报名学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，
将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.
6.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球
（1)求该校报名学生的总人数；
(2)若从报名的学生中任选3人，设x表示体重超过60kg的学生人数，
求x的数学期望与方差
5.某站针对2014年中国好声音歌手A,B,C三人进行上投票，结果如下
观众年龄 支持支持A B 支持C 20岁以下 200 400 800 20岁以上（含20岁） 100 100 400 （1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值.
（2）若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个总体，从7人中任意抽取3人，用随机变量X表示抽取出3人中支持B的人数，写出X的分布列并计算E(X),D(X).
的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
0.衡水万卷作业（十五）答案解析
一、解答题
1.【答案】（I）分布列见解析，32；（II）0.91．
【解析】
试题分析：（I）先算出?的频率分布，进而可得?的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望??；（II）先设事件?表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出?的概率． 试题解析：（I）由统计结果可得T的频率分步为
?（分钟） 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得T的分布列为 ? 25 30 35 40 ? 0.2 0.3 0.4 0.1 从而 ET?25?0.2?30?0.3?35?0.4?40?0.1?32（分钟）
(II)设T1,T2分别表示往、返所需时间，T1,T2的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”. 解法一：P(A)?P(T1?T2?70)?P(T1?25,T2?45)?P(T1?30,T2?40)
?P(T1?35,T2?35)?P(T1?40,T2?30)?1?0.2?1?0.3?0.9?0.4?0.5?0.1?0.91.
解法二：P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)
?0.4?0.1?0.1?0.4?0.1?0.1?0.09
故P(A)=1-P(A)=0.91.
考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率. 2.【答案】(Ⅰ)
12；(Ⅱ)分布列见解析，期望为52． 【解析】
试题分析：(Ⅰ)首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A．则银行卡被锁死相当于三次尝试密码都错，基本事件总数为A3?6?5?4，事件A包含的基本事件数为A365?5?4?3，代入古典概型的概率计算公式求解；(Ⅱ)列出随机变量X的所有可能取值，分别求取相应值的概率，写出分布列求期望即可． 试题解析：（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A， 则P(A)=56创4354=12
（Ⅱ）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3 又P(X=1)=1,P5116(X=2)=6?56,P(X=3)=5426创51=3. 所以X的分布列为
所以E(X)=1?1562?163?232． 考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望． 3.（Ⅰ）解两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散。
（Ⅱ）记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”; CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”; CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”;
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C=CB1CA1UCB2CA2。
p(C)?P(CB1CA1UCB2CA2)=P(CB1)P(CA1)?P(CB2)P(CA2).
由所给数据得C16A1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为
20,420,10820,20， 故p(C16410810A1)=20,p(CA2)=20,p(CB1)=20,p(CB2)=20,p(C)=
20?1620?420?820?0.48. 4.
5.【答案】（1）40（2）
2049 （1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人， ∴6100?200=n200?400?600?800?100?100?400，解得n=40， （2）X=0，1，2 X 0 1 2 2 4 1 P 7 7 7 ∴E（X）=1×41626246217+2×7=7，D（X）=7×(0-7)+7×(1-7)+7×(2-67)2=2049． 【思路点拨】（1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于n的方程，解方程可得n值．
（2）X=0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列并计算E（X），D（X）． 6.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能
力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想。满分13分。 解：(1)设顾客所获的奖励为X.
①依题意,得P(X?60)?C111C31C2?.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为1. 422②依题意,得X的所有可能取值为20,60. P(X?60)?1C2312,P(X?20)?C2?.
42即X的分布列为
X 20 60 P 0.5 0.5 所以顾客所获得的奖励额的期望为E(X)?20?0.5?60?0.5?40（元）.
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析:
对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为X1,则X1的分布列为
X1 20 60 100 P 1 2 16 3 6 XE(X1211的期望为1)?20?6?60?3?100?6?60,
X的方差为D(X60)2?1?(60?60)2?23?(100?60)21160011)?(20?6?6?3.
对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为X2,则X2的分布列为
X2 40 60 80 P 1 216 3 6 X1212的期望为E(X2)?40?6?60?3?80?6?60,
X12214002的方差为D(X2)?(40?60)2?6?(60?60)2?3?(80?60)?6?3.
由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.
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