》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值。
解析 (1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∵点A(5,0)到l的距离为3， ∴
|10＋5λ－5|2＋λ2
2
＋1－2λ2
＝3，
1
即2λ－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝，
2∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0。
?2x＋y－5＝0，(2)由?
x－2y＝0，?
解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)。
∴dmax＝PA＝
5－2
2
＋0－1
2
＝10。
答案 (1)x＝2或4x－3y－5＝0 (2)10
(时间：20分钟)
1．(2016·新乡模拟)已知平面内两点A(1,2)，B(3,1)到直线l的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l的条数为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
解析 由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条，又因为|AB|＝5， 所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条。故选C。 答案 C
2．(2017·长沙模拟)已知点A(0,2)，B(2,0)。若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4
B．3
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C．2 D．1
解析 设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0， |AB|＝22。
由于△ABC的面积为2，
1
则这个三角形中AB边上的高h满足方程×22h＝2，即h＝2。
2|t＋t2－2|
由点到直线的距离公式得2＝，
2即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2。
因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个。故选A。 答案 A
3．(2016·河北名校联考)直线y＝a分别与直线y＝3x＋3，曲线y＝2x＋lnx交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
4A. 3210C.
5
B．1
D．4
解析 作与直线y＝3x＋3平行的直线与曲线y＝2x＋lnx相切，易得切点为(1,2)。所以4
当a＝2时，|AB|min＝。故选A。
3
答案 A
4．(2016·焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：
x－a2
＋y－b2
可以
转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离。结合上述观点，可得f(x)＝x2＋4x＋20＋
x2＋2x＋10的最小值为________。
解析 ∵f(x)＝x2＋4x＋20＋x2＋2x＋10＝
x＋2
2
＋0－4
2
＋x＋1
2
＋0－3
2
，
∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)。
要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝
－1＋2
2
＋3＋4
2
＝52，即f(x)＝x2＋4x＋20＋x2＋2x＋10的最小
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值为52。
答案 52
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