[证明] 要证a＋b＜1＋ab， 只需证(a＋b)＜(1＋ab)， 只需证a＋b－1－ab＜0， 即证(a－1)(1－b)＜0.
因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0， 即(a－1)(1－b)＜0成立， 所以原不等式成立． 考点3 反证法的应用 用反证法证明问题的步骤
(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立．(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)
(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
11
设a>0，b>0，且a＋b＝＋. 2
2
ab证明：(1)a＋b≥2；
(2)a＋a<2与b＋b<2不可能同时成立．
11a＋b[证明] 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
2
2
abab(1)由基本不等式及ab＝1， 有a＋b≥2ab＝2， 即a＋b≥2.
(2)假设a＋a<2与b＋b<2同时成立， 则由a＋a<2及a>0， 得0 故a＋a<2与b＋b<2不可能同时成立． (1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证． (2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等． 2 2 2 2 2 5 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn； (2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． [解] (1)设等差数列{an}的公差为d. Snn?a1＝2＋1， 由已知得? ?3a1＋3d＝9＋32， 所以d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)(n∈N＋)． (2)证明：由(1)得bn＝＝n＋2， 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N＋，且互不相等)成等比数列，则bq＝bpbr. 即(q＋2)＝(p＋2)(r＋2)， 所以(q－pr)＋2(2q－p－r)＝0， 因为p，q，r∈N＋， ??q－pr＝0，所以? ?2q－p－r＝0，? 22 2 2 Snn 所以? ?p＋r?2＝pr，(p－r)2＝0， ??2? 所以p＝r，与p≠r矛盾， 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列． 考点4 数学归纳法的应用 (1)应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 ①当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． ②用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法． (2)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性． (2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N＋，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝ an，n∈N＋，证明：c1＋c2＋…＋cn＜2n，n∈N＋. 2bn 6 [解] (1)设数列{an}的公差为d， ??a1＋2d＝4， 由题意得? ??a1＋3d＝3a1＋3d， 解得a1＝0，d＝2， ∴an＝2n－2，n∈N＋. ∴Sn＝n－n，n∈N＋. ∵数列{bn}满足：对每个n∈N＋，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列， ∴(Sn＋1＋bn)＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)， 12 解得bn＝(Sn＋2－SnSn＋2)， 2 2 d即bn＝n＋n，n∈N＋. (2)证明：cn＝ 2 an＝2bn2n－22nn＋1 ＝ n－1 ，n∈N＋， nn＋1 用数学归纳法证明： ①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立； ②假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立， 即c1＋c2＋…＋ck＜2k， 则当n＝k＋1时， c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1＜2k＋ 2 kk＋1 k＋2 ＜2k＋ 1 ＜2k＋k＋1 k＋1＋k＝2k＋2(k＋1－k)＝2k＋1， 即n＝k＋1时，不等式也成立． 由①②得c1＋c2＋…＋cn＜2n，n∈N＋. 用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化． [教师备选例题] 111 1．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋ 2×44×66×82n(n∈N＋)． [证明] ①当n＝1时， 左边＝ 11＝， 2×1×2×1＋28 1 ＝ 2n＋24 n n＋1 7 右边＝ 11 ＝， 4×1＋18 左边＝右边，所以等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有 111＋＋＋…＋2×44×66×82k1 ＝ 2k＋24 k， k＋1 1 ＋ 2k＋22 111 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋ 2×44×66×82k＝＝＝＝ k＋1 1 [2k＋1＋2] k1 ＋ 4k＋14k＋1k＋2kk＋2＋1 4k＋1k＋2 k＋1 4 2 k＋1 ＝ k＋24 k＋1 k＋2 k＋1 . 4[k＋1＋1] 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②可知对于一切n∈N＋等式都成立． 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝b＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图像上． (1)求r的值； (2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，证明：对任意的n∈N＋，不等式 xb1＋1b2＋1bn＋1··…·＞n＋1成立． b1b2bn[解] (1)由题意得，Sn＝b＋r， 当n≥2时，Sn－1＝bn－1 n＋r. (b－1)． 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1 由于b＞0，且b≠1， 所以n≥2时，数列{an}是以b为公比的等比数列． 又a1＝S1＝b＋r，a2＝b(b－1)， 所以＝b，即 a2 a1bb－1 ＝b，解得r＝－1. b＋rn－1 (2)证明：由(1)及b＝2知an＝2因此bn＝2n(n∈N＋)， . 2＋14＋12n＋1 所证不等式为··…·＞n＋1. 242n 8
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