2019年湖南省娄底市2018年中考数学试卷及答案解析(word版)

25．（2018年湖南省娄底市）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，交AB于点E．

（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；

22

（2）求证：BC﹣CE=CE?DE；

（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．

=，弦CD

【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；

2

（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE?CE=AE?BE=r﹣

222222

OE2，BC2=2r2，由=知∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理知CE=OE+r、据此得BC﹣CE=r

2

﹣OE，从而得证；

22

（3）先求出BC=4、CE=2，根据BC﹣CE=CE?DE计算可得． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°， ∵PB是⊙O的切线，

∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°， ∴∠BAD=∠PBD；

（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB， ∴△ADE∽△CBE， ∴

=

，即DE?CE=AE?BE，

如图，连接OC，

设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，

22

则DE?CE=AE?BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r﹣OE， ∵=，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

222222222

∴CE=OE+OC=OE+r，BC=BO+CO=2r，

2222222

则BC﹣CE=2r﹣（OE+r）=r﹣OE，

22

∴BC﹣CE=DE?CE；

（3）∵OA=4， ∴OB=OC=OA=4，

∴BC==4，

又∵E是半径OA的中点， ∴AE=OE=2， 则CE=

=

=2

，

22

∵BC﹣CE=DE?CE，

22

∴（4）﹣（2）=DE?2

，

解得：DE=．

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．

26．（2018年湖南省娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点：

①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值； ②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．

【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；

（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，根据点B、D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△

2

BDF=﹣x+4x﹣3，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，则∠AEF1=∠DBE、∠AEF2=∠DBE，根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式，联立直线EF1、抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点F1的坐标，同理可求出点F2的坐标，此题得解．

2

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax+bx+c，

，解得：，

2

∴抛物线的解析式为y=﹣x+2x+3．

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∵y=﹣x+2x+3=﹣（x﹣1）+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）．

（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示． 设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，

，解得：，

∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．

2

∵点F的坐标为（x，﹣x+2x+3）， ∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），

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∴FM=﹣x+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x+4x﹣3，

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∴S△BDF=FM?（yB﹣yD）=﹣x+4x﹣3=﹣（x﹣2）+1．

∵﹣1＜0，

∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1．

②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示． ∵EF1∥BD，

∴∠AEF1=∠DBE． ∵ON=ON′，EO⊥NN′， ∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．

∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0）， ∴点E的坐标为（1，0）．

设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1， 将E（1，0）代入y=﹣2x+b1， ﹣2+b1=0，解得：b1=2，

∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2． 联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，

，

解得：，（舍去），

∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）． 当x=0时，y=﹣2x+2=2， ∴点N的坐标为（0，2）， ∴点N′的坐标为（0，﹣2）．

同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．

联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，

，

解得：，（舍去），

∴点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．

综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣

，2﹣2）或（﹣，﹣2 ﹣2）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质

以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解

2

析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S△BDF=﹣x+4x﹣3；②联立直线与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点F的坐标．