椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
江西省上犹中学 刘鹏
关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用 摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即
或者AB=1+(1k)2AB=1?k2x1?x2y1?y2，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：
2ab2AB?22，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.
a?ccos2?下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.
解法一：根据弦长公式直接带入解决.
x2y2题：设椭圆方程为2?2?1，左右焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)，直线l过椭圆的右焦点F2交椭
ab圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求弦长AB.
x2y2椭圆方程2?2?1可化为b2x2?a2y2?a2b2?0……①，
ab直线l过右焦点，则可以假设直线为：x?my?c(斜率不存在即为m?0时)，代入①得：
2222(b2m2?a2)y2?2mcb2y?bc?ab?0，整理得，(b2m2?a2)y2?2mcb2y?b4?0
2mcb2b4,y1y2??22∴y1?y2??22， 22bm?abm?aAB=1+()y1?y2?1?m12k2∴
2mcb224b44a2b4(1?m2)2(?22)?22?1?m22bm?abm?a(b2m2?a2)2 2ab221?m∴AB?22 ??2bm?a（1）若直线l的倾斜角为?，且不为90,则m??1，则有： tan?2ab22ab21?2AB?221?m?1????21bm?a2tan?22?b?a2tan????,
2ab2由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为AB?2……②. 22a?ccos?2ab22b22（2）若?=90，则m?0，带入AB?22?1?m?,得通径长为a，同样满足②式.并且由
bm?a2?2ab22a(b2m2?a2)?2a3?2ab22a(a2?b2)2a(a2?b2)2b22AB?221?m?=?2a?22?2a??2?22222bm?abm?abm?aaa2b2,当且仅当m?0即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为，故可知通径是最短的焦点弦，.
a2ab2综上，焦点弦长公式为AB?2.
a?c2cos2?解法二：根据余弦定理解决
x2y2题：设椭圆方程为2?2?1，左右焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)，直线l过椭圆的右焦点F2交椭
ab圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求弦长AB.
解：如右图所示，连结F1A,F1B，设F2A=x,F2B?y，假设直线的倾斜角为?，则由椭圆定义可得F1A=2a?x,F1B?2a?y，在
?AF1F2中，由余弦定理得
(2c)2?x2?(2a?x)2b2cos(???)?，化简可得x?，在
a?ccos?4cxb2，则弦长 ?BF1F2中，由余弦定理同理可得y?a?ccos?b2b22ab2AB?x?y??=22a?ccos?a?ccos?a?ccos2?.
解法三：利用焦半径公式解决
x2y2题：设椭圆方程为2?2?1，左右焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)，直线l过椭圆的右焦点F2交椭
ab圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求弦长AB.
2m2cb22a2c?2c?22解：由解法一知x1?x2=my1?c?my2?c?m(y1?y2)?2c??22.由椭圆22bm?abm?a的第二定义可得焦半径公式，那么F2A?a?ex1,F2B?a?ex2
2ab2m2?2ab22ab2(1?m2)?22故AB=a?ex1?a?ex2?2a?e(x1?x2)?b2m2?a2bm?a2
后面分析同解法一.
解法四：利用仿射性解决
x2y2题：设椭圆方程为2?2?1，左右焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)，直线l过椭圆的右焦点F2交椭
ab圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求弦长AB.
?x'?x?222解：利用仿射性，可做如下变换?a，则原椭圆变为(x')?(y')?a，这是一个以原点为圆心，
y'?y?b?aa为半径的圆.假设原直线的斜率为k，则变换后斜率为k.椭圆中弦长AB=1?k2x1?x2，经过
b变换后变为AB''?1?(k)x1?x2，带入，得变换前后弦长关系为
ab2AB=b1?k2b?ak222AB''……③
而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为
y?ak(x?c)，圆心到直线的距bakcb离为d?，根据半径
a21?(k)b为a，勾股定理求得弦长为
akc2)a2b2(1?k2)2bA'B'=2a??2222ak2b?ak1?()b(，将此结果带入③中，得
AB=b1?k2b2?a2k2a2b2(1?k2)2ab2(1?k2)A'B'=2=2，由k?tan?，带入得 22222222b?akb?akb?akb1?k22ab2AB?22.
a?ccos2?2ab2上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：AB?2，22a?ccos?记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.
例1
x2y2??1，过椭圆焦点且斜率为3的直线交椭圆于A,B两点，求AB. 已知椭圆
2521分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.
2ab2解：由题，a?5,b?21,c?4，?=,带入AB?2得AB=10. 223a?ccos?22?例2
3x2y2 已知点P(1,?)在椭圆C：2?2?1(a>b>0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直线l与
2ab椭圆C交于M,N两点. （1）求椭圆的标准方程；
（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNPAB，W?AB2MN,试判断W是否为定值？若是定值，
求出这个定值，若不是，说明理由.
分析：因为l过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知c?1，将点P带入得
19??1，又a2?b2?c2，解得a2?4,b2?3，故椭圆22a4bx2y2??1. 方程为43（2）假设A(m,n)，则AB?2m?n，设倾斜角为?，则cos??22mm?n222，根据过焦点的
2ab2?弦长公式则MN?222a?ccos?ABm2n2123m2?4n2=4（?）=4. ?，故W?222mMN4312(m?n)4?2m?n2例3
x2y2??1的左右焦点为F1,F2，过F2的直线l1交椭圆于A,C两点，过F1 如图，已知椭圆433?，求四边形ABCD的4的直线l2交椭圆于B,D两点，l1,l2交于点P(P在x轴下方)，且?F1PF2?面积的最大值.
分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成?F1PF2?内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.
解：假设l1的倾斜角为?,则l2的倾斜角为
3?的点P在圆43?12+?，由椭圆的焦点弦长公式得：AC?, 244?cos?BD?124?cos2(??)42?，S=1221212??AC?BD???, 2244?cos2?4?cos2(???)42设f(?)?(4?cos?)(4?cos(???471714971?(?cos2?)(?sin2?)??（sin2?+cos2?）+sin4? 2222448))
设sin2??cos2??t(t???2,2?)，
??2则sin4??t?1,带入得f(t)?49712?t+(t?1) 448即f(t)?12797t?t? 848f(t)min?99?142,此时t?2， 8即sin2??cos2??2，得到?=?. 82882?5.14.此时
99?142综上，四边形ABCD的最大值为S=?=?7?，得到l2的倾斜角为,刚好两直线关于y轴对称，如88右图所示.
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