【点睛】
本题主要考查了三角形的实际应用，以及点到直线的距离的应用，考查了推理与运算能力，属中档题． 19．（1）y?120?（2）120km/h. 【解析】 【分析】
（1）计算出汽车的行驶时间为代入a?50，b?50??1v??，当汽车以100km/h的速度行驶，能使得全称运输成本最小；
v??2001201202小时，可得出全程运输成本为y??bv?a??，其中v??0,120?，vv1，利用基本不等式求解； 200169??1v??时，利用基本不等式取不到等号，转而利用双勾函数的单调性求解． 200v??（2）注意到y?120?【详解】
（1）由题意可知，汽车从A地到B地所用时间为全程成本为y?bv?a?120小时， v?2?120a???120?bv??，v??0,120?. vv??当a?50，b?150?v50?v时，y?120????240??120， 200200v?200v?当且仅当v?100时取等号，
所以，汽车应以100km/h的速度行驶，能使得全程行驶成本最小； （2）当a?169?1691?v?，b?时，y?120??， 2002v2200??由双勾函数的单调性可知，当v?120时，y有最小值，
所以，汽车应以120km/h的速度行驶，才能使得全程运输成本最小． 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，解题的关键就是建立函数模型，得出函数解析式，并通过基本不等式进行求解，考查学生数学应用能力，属于中等题． 20．（1）见解析；（2）【解析】
6115 ；（3）即点N在线段CD上且ND?615
【分析】
（1）取线段SC的中点E，连接ME，ED．可证AMED是平行四边形，从而有AM//DE，则可得线面平行；
（2）以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出两平面AMC与平面SAB的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）设N?x,2x?2,0?，其中1?x?2，求出MN，由MN与平面SAB所成角的正弦值为MN与平面SAB的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论． 【详解】
（1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．
在
中，ME为中位线，∴ME//BC且ME?1BC， 2∵AD//BC且AD?1BC，∴ME//AD且ME?AD， 2∴四边形AMED为平行四边形． ∴AM//DE．
∵DE?平面SCD，AM?平面SCD， ∴AM//平面SCD．
（2）解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A?0,0,0?，B?0,2,0?，C?2,2,0?，D?1,0,0?，S?0,0,2?，
由条件得M为线段SB近B点的三等分点． 于是AM?2142?42?AB?AC?(0,,)，即M?0,,?， 3333?33??AM?n?0设平面AMC的一个法向量为n?(x,y,z)，则?，
AC?n?0?将坐标代入并取y?1，得n?(?1,1,?2)． 另外易知平面SAB的一个法向量为m??1,0,0?， 所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为（3）设N?x,2x?2,0?，其中1?x?2． 由于M?0,m?nmn?6． 6??42?102??,?，所以MN??x,2x?,??．
33?33??sin??所以
MN?mMNm?x1?， 40104104140125x?x?????5399x23x有最大值，
4013?15，即x?26时分母有最小值，此时
可知当??20826x159?此时，N?【点睛】
?2622?,,0?，即点N在线段CD上且ND?115． ?1515?15本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．
?33?321． (1) B? ；(2) S?a???8,2?? 64???
【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得B的值；（2）先根据已知求出
3?a?2，再求2?ABC面积的取值范围.
【详解】
解：（1）a?bcosC?3csinB，即 可得sinA?sinBcosC?3sinCsinB，
∵sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?sinBcosC?3sinCsinB ∴cosBsinC?3sinCsinB ∵sinB?0 ∴cosB?3sinB ∴tanB?3 3?6由0?B??，可得B?；
（2）若?ABC为锐角三角形，且c?由三角形ABC为锐角三角形，
3，由余弦定理可得b?a2?3?2a?3cos?6 ?a2?3a?3，
可得a2?3a?3?a2?3且a2?3a?3?3?a2 解得
3?a?2， 2?33?3?3a?sin?a??, ???264?82?可得?ABC面积S?【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 22．（1）an?2?3【解析】 【分析】
（1）设正项等比数列?an?的公比为q(q>0)，由已知列式求得公比，则等比数列的通项公式可求；（2）由
n?13n2n；（2）Sn??.
22a1?a2?a3?b1?b2?b3?b4，求解等差数列的公差，则数列?bn?的前n项和可求．
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