高考文科数学复习专题极坐标与参数方程

高考文科数学复习专题极

坐标与参数方程

Newly compiled on November 23, 2020

1．曲线的极坐标方程．

(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．

(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．

极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．

(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

2．直线的极坐标方程．

(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．

(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．

(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．

3．圆的极坐标方程．

(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．

(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．

(3)圆心在过极点且与极轴成ρ2rsin_θ，如图3所示．

4．极坐标与直角坐标的互化．

若极点在原点且极轴为x轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x，y)的公式如下：

?x＝ρcos θ，y?或者ρ＝x2＋y2，tan θ＝，

x?y＝ρsin θ

π

的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为2

其中要结合点所在的象限确定角θ的值． 1．曲线的参数方程的定义．

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的

?x＝f（t），

函数，即?并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)

?y＝g（t），

都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．

2．常见曲线的参数方程．

(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线：

?x＝x0＋tcos α，?(t为参数)， y＝y＋tsin α0?

其中参数t是以定点P(x0，y0)为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．

根据t的几何意义，有以下结论：

①设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则|AB|＝|tB

－tA|＝（tB＋tA）－4tA·tB；

tA＋tB

②线段AB的中点所对应的参数值等于.

2(2)中心在P(x0，y0)，半径等于r的圆：

?x＝x0＋rcos θ，?(θ为参数) y＝y＋rsin θ0?

2

(3)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆：

?x＝acos θ，??x＝bcos θ，???. (θ为参数)?或??y＝bsin θ??y＝asin θ?

中心在点P(x0，y0)，焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为

?x＝x0＋acos α，?(α为参数)． y＝y＋bsin α0?

(4)中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线：

?x＝asec θ，??x＝btan θ，?

??. (θ为参数)?或?y＝btan θy＝asec θ????

(5)顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上的抛物线：

?x＝2p，?(t为参数，p>0)． ?y＝2p

注：sec θ＝

1

.

cos θ

3．参数方程化为普通方程．

由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y

的限制．

?5π?

?，则点A的直角坐标是(2，－23)． 1．已知点A的极坐标为?4，3???π?22，－?． 2．把点P的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为?6??3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4．

?π?

4．以极坐标系中的点?1，?为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝

6???π?

2cos?θ－?．

6???x＝t，5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：?(t为参数)过椭圆C：

y＝t－a??x＝3cos θ，

?(θ为参数)的右顶点，则常数a的值为3． y＝2sin θ?

?x＝t，?x＝3cos θ，x2y2

解析：由直线l：?得y＝x－a.由椭圆C：?得＝

94y＝t－a，y＝2sin θ，??

＝1.所以椭圆C的右顶点为(3，0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0＝3－a，即a＝3.

一、选择题

1．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是(C)

?x＝2cos θ，?x＝t＋1，

2．若圆的方程为?(θ为参数)，直线的方程为?(t

?y＝2sin θ?y＝t－1