专题十七 立体几何
一、 填空题
考向一 立体几何中的计算问题
1. (2017·苏州、无锡、常州、镇江二模)已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为 .
2. (2018·南通、泰州一模)如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm,圆柱的底面积为9 cm.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm
2
的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为 cm.(不计损耗)
(第2题) (第3题)
3. (2018·苏州期初)如图,正四棱锥P-ABCD的底面一边AB的长为2 cm,侧面积为8 cm,则它的体
2
积为 cm.
3
4. (2017·江苏大联考)已知正四面体P-ABC的棱长为2,若M,N分别是PA,BC的中点,则三棱锥P-BMN的体积为 .
(第5题)
5. (2018·苏州一模)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为 .(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π)
6. (2018·无锡一模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 . 考向二 立体几何中的命题真假的判定问题
7. (2017·丹阳高级中学期初)设α,β为两个不重合的平面,m,n为两条不同的直线,给出下列四个命题:
①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;
②若n?α,m?β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直; ③若α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m,则n⊥β; ④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β.
其中正确的命题是 .(填序号)
8. (2016·南京三模)已知α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不同的直线,l⊥α,m?β.给出下列四个命题:
①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m; ③m∥α?l⊥β; ④l⊥β?m∥α.
其中正确的命题是 .(填序号)
9. (2016·镇江期末)已知b,c表示两条不同的直线,α,β表示两个不重合的平面,给出下列四个命题:
①若b?α,c∥α,则b∥c; ②若b?α,b∥c,则c∥α; ③若c∥α,α⊥β,则c⊥β; ④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.
其中正确的命题是 .(填序号)
10. (2017·南京、盐城、连云港二模)已知α,β是两个互不重合的平面,m,n是两条不同的直线,下列命题中正确的是 .(填序号)
①若α∥β,m?α,则m∥β; ②若m∥α,n?α,则m∥n; ③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β;
11. (2017·广州模拟)已知α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是 .(填序号)
④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.
①若m∥α,α∩β=n,则m∥n;
②若m⊥α,n⊥m,则n∥α;
③若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n; ④若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β.
(第12题)
12. (2017·咸阳模拟)如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:①PC∥平面OMN;②平面OMN⊥平面PAB;③OM⊥PA;④平面PCD∥平面OMN.其中正确的结论是 .(填序号) 考向三 立体几何中的综合问题
(第13题)
13. (2016·无锡期末)如图,在圆锥VO中,O为底面圆的圆心,点A,B在圆O上,且OA⊥OB.若OA=VO=1,则点O到平面VAB的距离为 .
14. (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在体积为的四面体ABCD中,若AB⊥平面
BCD,AB=1,BC=2,BD=3,则CD长度的所有值为 .
二、 解答题
15. (2017·常州一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都相等,且∠ABB1=60°,D为AC的中点. (1) 求证:B1C∥平面A1BD; (2) 求证:AB⊥B1C.
(第15题)
16. (2017·苏州、无锡、常州、镇江二模)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1. (1) 求证:E是AB中点; (2) 若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.
(第16题)
17. (2017·扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,E,F分别是棱PC和PD的中点. (1) 求证:EF∥平面PAB;
(2) 若AP=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.
(第17题)
18. (2018·苏州一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是A1D1,B1C1,D1D,C1C的中点. (1) 求证:EF∥平面ABHG; (2) 求证:平面ABHG⊥平面CFED.
(第18题)
19. (2018·苏州期初)如图,在三棱锥P-ABC中,已知平面PBC⊥平面ABC. (1) 若AB⊥BC,CP⊥PB,求证:CP⊥PA;
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