2020年香港集训队选拔考数学考试试题目（无答案）

2020年香港集训队选拔考数学考试试题目（无答案）

2020香港集训队选拔考试题

1:求所有满足下述条件的函数f:N*→N*：

对所有正整数n,若d1,d2,…ds,为n的所有正因数,则: f(d1)f(d2)…f(ds,)=n。

2.设D是△ABC内部任意一点,T为△BCD的外接圆.∠ABC的外角平 分线与T交于点E,∠ACB的外角平分线与T交于点F直线EF与AB和AC延长线分别交于点P、Q.证明:△BFP与△CEQ的外接圆一点都经过某个与D点位置无关的定点。

1232019?1中任选两个数,并计3. 小明从整数集合2?1,2?1,2?1,?,2??算他们的最大公因数。求所有的小明可算出的最大公因数的值的和。 4. 求所有小于100,且满足［(2+√5)P]-2p+1可以被P整除的质数P的个数.这里[x]表示不大于实数x的最大整数.

5.△ABC中,D为BC边上的一点.已知△ABD的内切圆?1分别于AB、 AD切于点E、F.△ACD的内切圆?2分别于AD、AC切于点F、G.设 线段EG分别交圆?1与?2于P、Q.

证明:过P点作?1的切线,过Q点作?2的切线,则这两条切线与直线AD共点.

6.对任一由数字0和1构成的数列,我们将其中由连续的相同数字组

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2020年香港集训队选拔考数学考试试题目（无答案）

成的最大字符串称为“节”,将其“节”的个数称为他的“连续数”。(例如,数列011001010由7个“节”0，11，00，1，0，1,0，组成,所以它的“连续数”为7,)求所有由2019个0和2019个1组成的数列的“连续数”之和。

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