第二章习题
习题 设随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
式中，?是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(?=0)=，P(?=?/2)= 试求E[X(t)]和RX(0,1)。
解：E[X(t)]=P(?=0)2cos(2?t)+P(?=/2)2cos(2?t??2)=cos(2?t)?sin2?t
cos?t
习题 设一个随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
判断它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：为功率信号。
RX(?)?limT??1T/2?T/2X(t)X(t??)dtT?1/2?limT???T?T/22cos(2?t??)*2cos?2?(t??)???dtT?2cos(2??)?ej2?t?e?j2?t
?j2?f?j2?tP(f)???d?????e?j2?t)e?j2?f?d???RX(?)e??(e
??(f?1)??(f?1)
习题 设有一信号可表示为：
4exp(?t) ,t?0X(t)?{
0, t<0试问它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
?j?t?????(1?j?)tX(?)????dt??04e?te?j?tdt?4?0edt???x(t)e4 1?j?4162?则能量谱密度 G(f)=X(f)= 221?j?1?4?f2
习题 X(t)=x1cos2?t?x2sin2?t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为?2。试求：
(1)E[X(t)]，E[X2(t)]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2)
解：(1)E?X?t???E?x1cos2?t?x2sin2?t??cos2?t?E?x1?sin2?t?E?x2???0
PX(f)因为x1和x2相互独立，所以E?x1x2??E?x1??E?x2?。
2??2。 又因为E?x1??E?x2??0，?2?Ex12?E2?x1?，所以Ex12?Ex2??????故 EX2?t???cos22?t?sin22?t??2??2
(2)因为x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以X?t?也服从高斯分布，其概率分布函数p?x?????z2??。 exp??2??2???2??1(3)RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2?? ??2?cos2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2? ??2cos2??t2?t1?
习题 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)exp?a?f以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题 试求X(t)=Acos?t的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R(t，t+?)=E[X(t)X(t+?)] =E?Acos?t*Acos(?t??)?
12A2?AE?cos???cos?(2t??)??cos???R(?) 22A2功率P=R(0)=
22?
解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。可
习题 设X1?t?和X2?t?是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为
RX1???和RX2???。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。
解：
(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[X1(t)X2(t)X1(t??)X2(t??)]
=E?X1(t)X1(t??)?E?X2(t)X2(t??)?=RX1(?)RX2(?)
习题 设随机过程X(t)=m(t)cos?t，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZPX(f)?? 0,其它?(1)试画出自相关函数RX(?)的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。
?1??, ?1???0?0???1 解：(1)Rx?????1???0,其它?其波形如图2-1所示。
1 0 1 Rx???12?图2-1信号波形图
(2)因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PX????RX???。由图2-8可见，RX???的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
Px?????11???????????0???????0???Sa2??1?2?2?2?1?2????0?2????0Sa?Sa???4?2???2???????
1P?2?
????Px???d??11,或S?Rx?0?? 22sin?f。试求此信号的自相关函数?f2习题设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =
2。
sin?f解：x(t)的能量谱密度为G(f)=X(f)=
?f?1??, ?1???0?j2?f?G(f)edf?0???1 其自相关函数RX????????1?????0,其它?
习题 已知噪声n?t?的自相关函数Rn????k-k?e，k为常数。 2(1)试求其功率谱密度函数Pn?f?和功率P；(2)画出Rn???和Pn?f?的曲线。 解：(1)Pn(f)??????Rn(?)e?j??d???????k?k??j??k2eed??2 22k?(2?f) P?Rn?0??k2
(2)Rn(?)和Pn?f?的曲线如图2-2所示。
习题 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：
Rn???1 Pn?f?k20 ?0 图2-2
fR(?)?1??, ?1???1
试求X(t)的功率谱密度PX(f)并画出其曲线。 解：详见例2-12
习题 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZ PX(f)??0,其它?试求其平均功率。
解：P??
????PX(f)df?2?10*1030f310fdf?2*10*342?410402?*108 3?e?t/?,t?0习题 设输入信号x(t)?? ，将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤
?0,t?0波器（见图2-3）上，RC＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的系统函数为
H(f)=X(t)?2cos(2?t??), ???t??
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=
11??1?j2?f?
?输出信号y(t)的能量谱密度为
22?j2?f?C R Gy(f)?Y(f)?X(f)H(f)?(R?R?1j2?fC)(1?1j2?f?)
图2-3RC 高通滤波器
习题 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=??dx(t)/dt?式中，?为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).
解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=?*j2?f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2?f?
习题 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
n0的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 2解：参考例2-10
习题 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为
n0的高斯白噪声时，试求 2(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。
解：(1)LC低通滤波器的系统函数为 2L C H(f)=
j2?fC2j2?fC?j2?fL?11?4?2f2LC2
图2-4LC低通滤波器
n01 221??LCCnC对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为R0(?)?0exp(??)
4LL输出过程的功率谱密度为P0(?)?Pi(?)H(?)?(2) 输出亦是高斯过程，因此 ?2?R0(0)?R0(?)?R0(0)?
习题若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
n0 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 2n0 4RCCn0 4L解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由题可知E(y(t))=0 ,
?y2?R0(0)?所以输出噪声的概率密度函数
py(x)?12x2RCexp(?)
n?n002RC
习题设随机过程?(t)可表示成?(t)?2cos(2?t??)，式中?是一个离散随变量，且
p(??0)?1/2、p(???/2)?1/2，试求E[?(1)]及R?(0,1)。
解：E[?(1)]?1/2*2cos(2??0)?1/2*2cos(2???/2)?1;
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