高考数学(理)大一轮复习习题：第四章 三角函数、解三角形 课时达标检测(二十四)

课时达标检测（二十四） 正弦定理和余弦定理

sin Acos B1．在△ABC中，若＝，则B的值为( )

abA．30° B．45° C．60° 解析：选B 由正弦定理知，

D．90°

sin Acos B＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°. sin Asin B153

2．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC＝( )

4A．3 B．5 C．7

D．15

153115322

解析：选C 由S△ABC＝得×3×ACsin 120°＝，所以AC＝5，因此BC＝AB42412

＋AC－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.

2

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B

A．锐角三角形 C．钝角三角形

2

2

B．直角三角形 D．不确定

2

a2＋b2－c2

解析：选C 根据正弦定理可得a＋b

2ab钝角．即△ABC是钝角三角形．

4．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为________．

解析：由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，1

最大的角为C.由余弦定理得cos C＝－，∴C＝120°.

2

答案：120°

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为315，b1

－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．

4

115

解析：在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝，

44

??

所以有?b－c＝2，

?－1?，

?a＝b＋c－2bc×?4????

2

2

2

115

bc×＝315，24

a＝8，??

解得?b＝6，

??c＝4.

答案：8

一、选择题

sin C522

1．在△ABC中，若＝3，b－a＝ac，则cos B的值为( )

sin A21111

A. B. C. D. 3254

5222

解析：选D 由题意知，c＝3a，b－a＝ac＝c－2accos B，所以cos B＝＝

22ac9a－

2

c2－ac5

2

152

a2

26a1＝. 4

2

2

2．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a＝(b＋c)，则cos A等于( )

4A. 5

41515

B．－ C. D．－

51717

1122222

解析：选D 由S＋a＝(b＋c)，得a＝b＋c－2bcsin A－1，由余弦定理可得sin A44－1＝cos A，结合sinA＋cosA＝1，可得cos A＝－

2

2

15

或cos A＝－1(舍去)． 17

3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 C．无解

解析：选C 由正弦定理得

B．有两解

D．有解但解的个数不确定

＝， sin Bsin Cbc∴sin B＝

bsin C＝c40×20

32

＝3>1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

π

4．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c3＝1，则△ABC的面积等于( )

A.

3333 B. C. D. 2468

解析：选B 由正弦定理得sin B＝2sin Acos B， 故tan B＝2sin A＝2sin

ππ

＝3，又B∈(0，π)，所以B＝， 33

π

又A＝＝B，则△ABC是正三角形，

31133

所以S△ABC＝bcsin A＝×1×1×＝.

2224

sinA＋B22

5．(2017·渭南模拟)在△ABC中，若a－b＝3bc且

sin BA.

ππ2π5π B. C. D. 6336

＝23，则A＝( )

sin解析：选A 因为

2

2

A＋Bsin Cb2＋c2－a2

＝23，故＝23，即c＝23b，则cos A＝

sin Bsin B2bc12b－3bc6b3π

＝＝＝，所以A＝. 22

2643b43b6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝( )

A.

πππ3π

B. C. D. 6434

c－bsin A＝，则Bc－asin C＋sin Babcc－bsin Aa解析：选C 根据正弦定理＝＝＝2R，得＝＝，

sin Asin Bsin Cc－asin C＋sin Bc＋ba2＋c2－b21π

即a＋c－b＝ac，所以cos B＝＝，故B＝.

2ac23

2

2

2

二、填空题

3

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos A＝，5则b＝________.

32解析：因为cos A＝，所以sin A＝1－cosA＝

5

?3?24

1－??＝，所以sin C＝sin＝?5?5

4372bsin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝cos 45°＋sin 45°＝.由正弦定理＝

5510sin Bcsin C，得b＝

5

×sin 45°＝.

772

10

1

5

答案：

7

8．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝3，则三角形外接圆的半径为________．

1222

解析：由面积公式，得S＝bcsin A，代入数据得c＝2，由余弦定理得a＝b＋c－2bccos

2

A＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a＝23，由正弦定理，得2R＝

asin A＝2332

，解得

R＝2.

答案：2

9．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则

sin 2A＝________. sin C2

2

2

sin Aab＋c－a解析：由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，∵a＝4，b＝5，c＝

sin Cc2bcsin 2A2sin Acos Asin Aab＋c－a45＋6－4

6，∴＝＝2··cos A＝2××＝2××＝1.

sin Csin Csin Cc2bc62×5×6

答案：1

10．在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________.

解析：如图，在△ABD中，由正弦定理，得＝，

sin Bsin∠ADB∴sin∠ADB＝

2. 2

2

2

2

2

2

2

ADAB由题意知0°<∠ADB<60°，

∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.

∴∠BAC＝30°，C＝30°，∴BC＝AB＝2.在△ABC中，由正弦定理，得

ACsin B＝

BCsin∠BAC，∴AC＝6.

答案：6 三、解答题

11．(2017·河北三市联考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin

B＝－bsin?A＋?.

3

??

π??

(1)求A；

(2)若△ABC的面积S＝32

c，求sin C的值． 4

解：(1)∵asin B＝－bsin?A＋

??

π?， 3??

∴由正弦定理得sin Asin B＝－sin Bsin?A＋

?

?

π??π?，则sin A＝－sin?A＋?，即sin A?3?3??