此时，A''在对称轴上∠MC'E＝75° 又∠AMO＝∠EMC'＝30° ∴∠MEC'＝75° ∴ME＝MC' ∴MC'＝∴OE＝∴E（
）
④当A''B＝AB时，如图5中，
此时AC'＝A''C'＝A''B＝AB ∴四边形AC'A''B为菱形 由对称性可知，C''，E，B共线 ∴OE＝∴E（0，12）．
综上所述，满足条件的点E坐标为（0，3﹣
）或（0，6）或（0，3+
）或（0，12）．
，
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5， 得：解得
，
，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把C（0，5），B（5，0）代入得解得
，
，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5）， ∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3， 整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，
）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2， 整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，综上所述，当点D的坐标为（，比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
）或（，
）；
）时，直线BC把△BDF分成面积之
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9， 当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得
t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得
t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得
t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（4，0）与y轴交于点C，tan∠ABC＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在第一象限的抛物线上，ME平行y轴交直线BC于点E，连接AC、CE，当ME取值最大值时，求△ACE的面积．
（3）在y轴负半轴上取点D（0，﹣1），连接BD，在抛物线上是否存在点N，使∠BAN＝∠ACO﹣∠OBD？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵B（4，0）， ∴OB＝4， ∵tan∠ABC＝＝∴OC＝2， ∴C（0，2），
设y＝a（x﹣1）（x﹣4）， 把C（0，2）代入求得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+2， 把B（4，0）代入求得k＝﹣， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+2， 设M（m，﹣m2+m+2），
＝
，
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